Euler: Aufgabe vom Pferd (aus der 1768 erschienenen "Vollständigen Anleitung zur Algebra")

Question

Aufgabe:

Aus der 1768 erschienenen "Vollständigen Anleitung zur Algebra" von Leonhard Euler:

a) Jemand kauft ein Pferd für einige Reichsthaler verkauft es wieder für 119 Reichsthaler und gerinnt daraus so viel Prozente als das Pferd gekostet; nun ist die Frage, wie teuer ist dasselbe eingekauft worden?

b) Einige Kaufleute bestellen einen Faktor* und schicken ihn nach Archangelsf, um daselbst einen Handel abzuschliessen. Jeder von ihnen hat zehnmal so viel Reichsthaler eingelegt, wie es Personen sind. Nun gewinnt der Faktor an je 100 Reichsthalern zweimal so viele wie die Anzahl der Personen ist. Wenn man dann den 100. Teil des ganzen Gewinns mit
\( 2 \frac{2}{9} \) multipliziert, so kommt die Zahl der Gesellschafter heraus. – Wie viele sind ihrer gewesen?

Erläuterungen: Ein Faktor bezeichnet hier den Leiter einer Handelsniederlassung (Faktorei). Archangelsk ist ein Hafen am Weißen Meer, über den vom 16. bis zum 18. Jahrhundert der englische und holländische Warenverkehr mit dem Moskauer Reich erfolgte.

Answer 1

a)

Sei KP der Kaufpreis, dann gilt laut Aufgabenstellung:

( 119 - KP ) / KP = KP / 100

Erläuterung: 119 - KP ist der Gewinn. Dieser soll, bezogen auf den Kaufpreis, so groß sein wie der Kaufpreis bezogen auf 100 ("soviele Prozente").

Löst man die Gleichung nach KP auf, so erhält man als Lösung:

KP = 70 Reichsthaler

Probe:

119 - 70 = 49 Gewinn

49 / 70 = 0,7 = 70 / 100 = 70 %

Der Gewinn betrug also 70 % des Kaufpreises von 70 Reichsthalern.

 

b)

Sei P die Anzahl der Personen, E die gesamte Einlage und G der Gewinn, dann ergeben sich aus der Aufgabenstellung die folgenden drei Gleichungen, die man sukzessive in die jeweils nächste einsetzen kann:

E = P * 10 * P  = 10 P ²

G = ( E / 100 ) * 2 P = ( 10 P ² / 100 ) * 2 P = 20 P ³ / 100 = P ³ / 5

P = ( G / 100 ) * ( 20 / 9 ) = ( P ³ / 500 ) * ( 20 / 9 )

<=> P * 500 * 9 / 20 = P ³

<=> 225 = P ²

<=> P = 15

An dem Geschäft haben sich also 15 Personen beteiligt.