Berechnen Sie die relativen Extrema (Skihang). Berechnen Sie die Höhe des Schanzentisches.

Question

Aufgabe:

Ein Skihang wird durch die Funktion \( h(x)=\frac{1}{200}\left(x^{3}-300 x+2000\right) \) im Intervall \( [-10 ; 10] \) dargestellt. Es soll eine parabelförmige, kleine Sprungschanze gebaut werden. Die Schanze soll am Punkt \( (0,10) \) mit einem sanften Übergang beginnen, bei \( x=k \) einen waagerechten Absprung haben. Der Absprungskante wird variabel gehalten, um für die Planung verschiedene Größen der Schanze zu simulieren. (Alle Einheiten in Meter.)

1.1 Berechnen Sie die relativen Extrema von \( h(x) \), zeichnen Sie den Skihang und skizzieren sie verschiedene Größen der Schanze.

1.2 Stellen Sie alle Bedingungen auf, die zur Berechnung einer Funktion \( \mathrm{s}_{k}(\mathrm{x}) \) der Schanze wichtig sind und entwickein sie daraus die gesuchte Funktion.

1.3 Die Höhe des Schanzentisches ist eine wichtige Größe. Sie wird bestimmt, indem man vom Absprungpunkt parallel zur \( \mathrm{y} \) -Achse bis zum Skihang misst. Berechnen Sie diese Höhe in Abhängigkeit von \( k \).

Wenn unter 1.2 kein Ergebnis vorliegt, benutzen sie bitte: \( s_{k}(x)=(1 / 4)\left((3 / k) x^{2}-6 x+40\right) \).

1. 4 Die Schanze soll \( 2 \mathrm{~m} \) breit sein. Bestimmen Sie für beliebige Schanzenlänge den Volumenbedarf an Baumaterial.

1. 5 Bei der Schanzenplanung muss der kritische Punkt des Hanges beachtet werden. Eine Landung hinter \( x=6 \) wird als zu gefährlich betrachtet. Die Flugkurve des Springers entspricht beim Verlassen des Schanzentisches der Parabel \( p(x)=-0,63 x^{2} \). Ermitteln Sie aus diesen Angaben eine maximale Schanzengröße und geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für \( k \) an.

Answer 1

Skihang

Ein Skihang wird durch die Funktion h(x) = 0.005·x^3 - 1.5·x + 10 im Intervall [-10; 10] dargestellt. Es soll eine parabelförmige, kleine Sprungschanze gebaut werden. Die Schanze soll am Punkt (0; 10) mit einem sanften Übergang beginnen, bei x = k einen waagerechten Absprung haben. Die Absprungskante wird variabel gehalten, um für die Planung verschiedene Größen der Schanze zu simulieren. (Alle Einheiten in Meter.)

1.1 Berechnen Sie die relativen Extrema von h(x),zeichnen Sie den Skihang und skizzieren sie verschiedene Größen der Schanze.

h'(x) = 0.015·x² - 1.5 = 0

x = -10 ∨ x = 10

f(-10) = 20 --> Hochpunkt

f(10) = 0 --> Tiefpunkt

1.2 Stellen Sie alle Bedingungen auf, die zur Berechnung einer Funktion sk(x) der Schanze wichtig sind und entwickeln sie daraus die gesuchte Funktion

Steigung des Hanges im Punkt (0; 10)

h'(0) = -1.5

sk(x) = a·x^2 + b·x + c

sk(0) = 10

c = 10

sk'(0) = -1.5

b = -1.5

sk'(k) = 0

2·a·k + b = 0

a = - b/(2·k) = 1.5/(2·k)

sk(x) = 1.5/(2·k)·x^2 - 1.5·x + 10 = 0.75/k·x^2 - 1.5·x + 10

1.3 Die Höhe des Schanzentisches ist eine wichtige Größe. Sie wird bestimmt, indem man vom Absprungpunkt parallel zur y-Achse bis zum Skihang misst. Berechnen Sie diese Höhe in Abhängigkeit von k.

sk(k) - h(k) = 0.75/k·k^2 - 1.5·k + 10 - (0.005·k^3 - 1.5·k + 10) = 0.75·k - 0.005·k^3

1.4 Die Schanze soll 2 m breit sein. Bestimmen Sie für beliebige Schanzenlängen den Volumenbedarf an Baumaterial.

d(x) = sk(x) - h(x) = 0.75/k·x^2 - 1.5·x + 10 - (0.005·x^3 - 1.5·x + 10) = 0.75/k·x^2 - 0.005·x^3

D(x) = 0.25/k·x^3 - 0.00125·x^4

A = ∫ (0 bis k) d(x) dx = D(k) - D(0) = 0.25/k·k^3 - 0.00125·k^4 = 0.25·k^2 - 0.00125·k^4

V = A * 2 = 0.5·k^2 - 0.0025·k^4

1.5 Bei der Schanzenplanung muss der kritische Punkt des Hanges beachtet werden. Eine Landung hinter x = 6 wird als zu gefährlich betrachtet. Die Flugkurve des Springers entspricht beim Verlassen des Schanzentisches der Parabel p(x) = - 0.63·x^2. Ermitteln Sie aus diesen Angaben eine maximale Schanzengröße und geben sie einen sinnvollen Definitionsbereich für k an.

sk(k) = 0.75/k·k^2 - 1.5·k + 10 = 10 - 0.75·k

p2(x) = - 0.63·(x - k)^2 + 10 - 0.75·k

p2(x) = - 0.63·x^2 + 1.26·k·x - 0.63·k^2 - 0.75·k + 10

Schnittpunkte p2(x) = h(x)

- 0.63·x^2 + 1.26·k·x - 0.63·k^2 - 0.75·k + 10 = 0.005·x^3 - 1.5·x + 10

Damit es einen Schnittpunkt bei 6 gibt muss gelten

- 0.63·6^2 + 1.26·k·6 - 0.63·k^2 - 0.75·k + 10 = 0.005·6^3 - 1.5·6 + 10

- 0.63·k^2 + 6.81·k - 14.76 = 0

k = 3 oder k = 7.8

Dk = [0; 3]