Nun,
$$2014\equiv 12 \mod m $$$$\Leftrightarrow \exists k\in N:2014=m*k+12,m>12$$$$\Leftrightarrow \exists k\in N:2002=m*k,m>12$$
Die Anzahl der Lösungen der gegebenen Gleichung ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 2002 in ein Produkt aus zwei Zahlen m und k zu zerlegen, wobei m größer als 12 sein muss, da sich andernfalls kein Rest 12 ergeben kann.
Um diese Anzahl zu finden, zerlegt man die Zahl 2002 in ihre Primfaktoren:
2002 = 2 * 7 * 11 * 13
Die Menge der Primfaktoren von 2002 ist also
P2002 = { 2, 7, 11, 13 }
Nun bildet man die Menge aller Teilmengen von P2002 , also deren Potenzmenge \(\wp\) :
$$\wp ({ P }_{ 2002 })=\left\{ \emptyset ,\left\{ 2 \right\} ,\left\{ 7 \right\} ,\left\{ 11 \right\} ,\left\{ 13 \right\} ,\left\{ 2,7 \right\} ,\left\{ 2,11 \right\} ,\left\{ 2,13 \right\} ,\left\{ 7,11 \right\} ,\left\{ 7,13 \right\} ,\left\{ 11,13 \right\} ,\left\{ 2,7,11 \right\} ,\left\{ 2,7,13 \right\} ,\left\{ 2,11,13 \right\} ,\left\{ 7,11,13 \right\} ,\left\{ 2,7,11,13 \right\} \right\}$$
(
Hinweis: Für die Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer Menge A gilt:
$$| |\wp (A)|={ 2 }^{ |A| }$$
Für die Anzahl der Elemente der Potenzmenge von P2002 gilt also dementsprechend:
$$|\wp ({ P }_{ 2002 })|={ 2 }^{ |{ P }_{ 2002 }| }={ 2 }^{ 4 }=16$$
)
Bildet man nun die Menge T der Produkte der Elemente jeder Teilmenge von \(\wp ({ P }_{ 2002 })\), so erhält man die Menge
$${ T }=\left\{ 0,2,7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002 \right\}$$
und das ist die Menge aller Teiler m von 2002.
Die Menge aller Teiler, für die gilt m > 12 ist somit:
$$T_{ m>12 }=\left\{ 13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002 \right\}$$
und das ist die Menge aller Zahlen m, für die die zu betrachtende Gleichung:
$$2014\equiv 12 \mod m$$
gilt.
Die Anzahl der Lösungen dieser Gleichung ist daher gleich der Anzahl der Elemente der Menge Tm>12.
Es ist:
$$|{ T }_{ m>12 }|=12$$
Es gibt also 12 Lösungen.
