Relation ℝ ⊆ M × M. Totale Ordnung, Inf, Sup, Min, Max

Question

 

Ich brauche eure Hilfe um diese Aufgabe zu lösen

 

Die folgende Relation ℝ ⊆ M × M ist keine Halbordnung. Fügen Sie der Relation so wenig wie möglich Elemente hinzu, z.B. ℝ^'=ℝ ∪ {1,1),(2,2), so dass ℝ^'eine totale Ordnug ist, bzw. entfernen Sie so wenig wie mögliche Elemente. Geben Sie dann min, inf, max, sup der Menge K⊆M an.

 

M={x ∈ ℝ : -3 ≤ x ≤ 3}, R= {(x,y):x>y}, K={x∈ℝ: -1 < x < 1}

 

:)

Answer 1

Eine Quasiordnung muss zwei Bedingungen erfüllen:

1.) Transitivität: Aus (x,y)∈R und (y,z)∈R muss (x,z)∈R folgen.
Diese Bedingung ist bereits erfüllt, denn wenn x>y und y>z gilt, gilt automatisch auch x>z.

2.) Reflexivität: Für jedes Element x muss (x,x)∈R gelten. Das ist offensichtlich nicht erfüllt, denn für kein x ergibt die Ungleichung x>x eine wahre Aussage. Deswegen müssen zu R noch alle Paare mit identischen Komponenten hinzugefügt werden. Für die Halbordnung gilt also:

R' = R∪{(x,x): x∈M}

3.) Antisymmetrie: Wenn sowohl (x,y)∈R als auch (y,x)∈R gilt, dann muss x=y gelten. Offensichtlich ist es in R überhaupt nicht möglich, dass gleichzeitig x>y und y>x gelten, deswegen ist die Bedingung dort automatisch erfüllt.

Auf der Halbordnung R' ist die Bedingung immer noch erfüllt, denn nun ist es möglich, dass eben die beiden Elemente gleich sind.

 

In Wirklichkeit handelt es sich nun also um die Kleiner-Gleich-Beziehung.

Es gilt dann:

 

min K existiert nicht.

max K existiert nicht.

sup K = 1

inf K = -1