Aufgaben zur Funktionenschar

Question

Gegeben ist die Funktionsschar:

\( f_{k}(t)=-\frac{K}{4000} t^{3}+\frac{3 k^{2}}{4000} t^{2} \quad(K>0) \)

a) Untersuchen Sie \( f_{k} \) (t) allgemein auf Nullstellen und Extrempunkte.

b) Zeigen Sie, dass der Funktionswert der Wendepunkte von \( f_{k} \) (t) immer die Hälfte vom Funktionswert des Hochpunktes beträgt - unabhängig vom Parameter K.

c) Bestimmen sie die Ortsilnie aller Hochpunkte von \( f_{K}(t)\).

Die Funktionsschar beschreibt allgemein die Ausbreitung von Infektionskrankheiten in einer Region (t: Zeit in Tagen nach Ausbruch der Infektion, \( f_{k} \) (t): Prozentsatz der infizierten Bevölkerung).

d) Bestimmen Sie den Parameter \( K \) so, dass maximal \( 10 \% \) der Bevölkerung erkrankt.

e) Geben Sie den Definitionsbereich der in d) gefundenen Funktion an, der dem Sachzusammenhang Rechnung trägt.

f) Geben Sie ohne Rechnung den Tag an, an dem die Krankheit sich am schnellsten ausbreitet.

g) Bestimmen Sie den maximalen Wert von \( \mathrm{K} \), der im Sachzusammenhang möglich ist.

Answer 1

  anbei meine Lösungen. Ob alles richtig ist weiß ich nicht.

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mfg Georg

Comments

bei b) ab der stelle K=t wie gehts danach weiter i kann das nicht lesen

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  K = t oder
  t ( Wendepunkt ) = K
  t(W) in f eingestzt ergibt den Funktionnswert
  f ( K ) = ... = K^4 /2000
  W ( K l K^4/2000 )

  mfg Georg

Answer 2

 

f_K(t) = -K/4000 * t³ + 3K²/4000 * t²

f_K'(t) = -3K/4000 * t² + 6K²/4000 * t

f_K''(t) = -6K/4000 * t + 6K²/4000

f_K'''(t) = -6K/4000

 

Nullstellen:

( -K/4000 * t + 3K²/4000 ) * t² = 0

t₁ = 0

3K²/4000 = K/4000 * t

t₂ = 3K

 

Extrema:

f_K'(t) = 0 und f_K''(t) ≠ 0

3K/4000 * t² = 6K²/4000 * t

t₁ = 0

3K/4000 * t = 6K²/4000 | * 4000 / (3K)

t₂ = 2K

f_K''(0) = 6K²/4000 > 0 => Minimum an (0|0)

f_K''(2K) = -6K/4000 * 2K + 6K²/4000 = -12K²/4000 + 6K²/4000 < 0 => Maximum an (2K|K⁴/1000)

 

Wendepunkte:

f_K''(t) = 0 und f_K'''(t) ≠ 0

6K/4000 * t = 6K²/4000 | * 4000 / (6K)

t = K

f_K'''(K) = -6K/4000 ≠ 0

Wendepunkt an (K|K⁴/2000)

Funktionswert des Hochpunktes ist K⁴/1000, Funktionswert des Wendepunktes ist K⁴/2000, also die Hälfte.

 

Das muss jetzt erst einmal reichen, sorry :-)

 

Besten Gruß