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a) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Koordinatenursprung ein lokales Minimum. Er verläuft durch den Punkt \( \mathrm{P}(3|90) \) und hat bei \( x=7 \) ein lokales Maximum.

Bestimmen Sie den Funktionsterm \( f(x) \).

In einer ländlichen Region tritt eine Krankheit auf, deren Ausbreitung durch die Funktion f(t) = -4/3 t^{3} + 14 t^{2} beschrieben werden kann. (t: Tage nach erstmaligem Auftreten der Krankheit; f(t): Anzahl der Neu-Infektionen am Tag t)

Alle Erkrankten gehen direkt zum Arzt und lassen sich behandeln, nach vier Tagen sind sie wieder gesund.

In Abbildung 1 ist der Graph von \( f(t) \) - ohne Skalierung der beiden Achsen - skizziert.

b) Berechnen Sie \( f(3) \) und geben Sie die Bedeutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang an.

c) Ermitteln Sle einen sinnvollen Definitionsbereich für \( f(t) \) und geben Sie den Zeitpunkt an, an dem niemand mehr krank ist.

d) In der Region befinden sich fünf Arztpraxen, die täglich (auch am Wochenende) jeweils bis zu 50 Patlenten behandeln können. Untersuchen Sie, ob die ärztiche Versorgung gewährleistet ist.

e) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, an dem die Neuinfektionsrate am stärksten zunimmt.

f) Wie auf der Abbildung 1 zu sehen ist, steigt die Anzahl der Infektionen zu Beginn stark an. Bestimmen Sie die durchschnittiche Zuwachsrate (pro Tag) der Neuinfektionen während der ersten Woche.

g) In einer dichter besiedelten (städtischen) Umgebung nimmt die Ausbreitung der Krankheit einen analogen zeitlichen Verlauf. Da dort aber drei Mal so viele Menschen leben, werden auch drei Mal so viele Menschen krank. Ergânzen Sie Abbildung 1 entsprechend und geben Sle einen dazu passenden Funktionsterm \( \mathrm{g}(t) \) an.

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Aufgabe a):

f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f(0) = 0
d = 0

f'(0) = 0
c = 0

f(3) = 90
27·a + 9·b + 3·c + d = 90

f'(7) = 0
147·a + 14·b + c = 0

Wir lösen das LGS und erhalten als Lösung a = - 4/3 ∧ b = 14 ∧ c = 0 ∧ d = 0

Die Gleichung lautet damit

f(x) = - 4/3·x^3 + 14·x^2

Skizze

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kannst du mir bei b) c) d) e) f) und g) auch helfen?
b) solltest du denke ich alleine schaffen. Das ist wirklich nicht schwer. Probier also zunächst mal wirklich alleine klar zu kommen. Wenn du wirklich nicht weiß helfe ich aber gerne.
b rechnen kein problem aber was meinen die mit bedeutung sachzusammenhang?
f(t) sind die Anzahl Neuinfektionen am Tag t.

Also hast du die Neuinfektionen am 3. Tag.

Hier der Graph für den Aufgabenteil ab b). Die Richtigkeit der Ergebnisse sollte man bereits auch im Graphen wiederfinden. Man kann die Ergebnisse also alle auch grafisch kontrollieren.

alles klar

c) und d) habe ich kein plan; e) auf extrema untersuchen, f) und g) auch kein plan ^^
Macht t = -2 oder t = -1 im Sachzusammenhang einen Sinn?

Was kommt z.B. am 11. Tag für f(t) heraus? Macht dieser Wert einen Sinn in Bezug auf den Sachzusammenhang ?
Also versuche mal zu beschreiben was man für t einsetzen darf um gültige Werte zu erhalten. Das ist der Definitionsbereich.

d)
Du weißt aufgrund des Aufgabenteils a) wo das Maximum ist. Wieviel Neuinfektionen haben wir an diesem Tag? Können die alle in die Arztpraxis gehen und können alle behandelt werden. Wenn nein warum nicht, wenn ja warum ?
228,6 Also ist die ärztliche versorgung gewährleistet, weil die bis 250 patienten behandeln können. richtig?

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