Aufgabe Stochastik:
a) Seien \( p \) und \( q \) zwei verschiedene Primzahlen and \( a, b \) zwei ganze Zahlen mit \( 0 \leq a<p \) und \( 0 \leq b<q . \) Ein Zufallsgenerator erzugt eine Zahl \( n \) aus dem Bereich \( \{0,1,2, \ldots, p \cdot q-1\} \) gleichverteilt. Sei \( A \) das Ereignis, dass \( n=a \bmod p \) ist, und \( B \) das Ereignis, dass \( n \equiv b \) mod \( q \) ist. Untersuchen Sie, ob \( A \) und \( B \) unabhängig sind oder nicht.
b) Ein Zufallsgenerator erzeugt eine Zahl \( n \) aus dem Bereich \( \{1,2, \ldots, 100\} \) gleichverteilt. Sei \( A \) das Ereignis, dass \( n \equiv 1 \) mod 9 ist, und \( B \) das Ereignis, dass \( n \equiv 1 \) mod 11 ist. Untersuchen Sie, ob \( A \) und \( B \) unabhïngig sind oder nicht.
Zusatzaufgaben
Ein Zufallsgenerator erzeugt eine Folge von Zahlen \( n_{1}, n_{2}, \ldots \) aus dem Bereich \( \{0,1,2, \ldots, 99\} \) unabhängig und gleichverteilt.
c) Wie groß ist die erwartete Anzahl \( k \) bis zum ersten Mal eine \( Z \) ahl \( n_{k} \) mit \( n_{k} \equiv 3 \) mod 20 erzeugt wird? Wie oft tritt das Ereignis \( n_{k} \equiv 3 \) mod \( 20 \mathrm{im} \) Erwartungswert auf, wenn insgesamt 120 Zahlen erzeugt wurden?
d) Wie groß ist die erwartete Anzahl \( k \) bis zum ersten Mal eine Zahl \( n_{k} \) mit \( n_{k} \equiv 3 \) mod 40 erzeugt wird? Wie oft tritt das Ereignis \( n_{k} \equiv 3 \bmod 40 \mathrm{im} \) Erwartungswert auf, wenn insgesamt 120 Zahlen erzeugt wurden?
Kann mir Jemand die Lösungsschritte erklären? Ich habe nicht verstanden wieso der chinesische Restsatz angewendet worden ist und warum die Ereignisse zum Betrag genommen sind und warum 1/p und 1/q für die jeweiligen Ereigisse genommen sind
