Wie komme ich auf die Mitternachtsformel?

Question

Ich will hier nicht fragen WIE man MIT der Mitternachtsformel rechnet, sondern wie man die MItternachtsformel ausrechnet. Unser Lehrer hat mit folgender Rechnung angefangen, leider habe ich diesen Eintrag nicht vollständig, sodass ich auf dieser Seite nachfragen muss:

ax²+bx+c=0

Freue mich schon auf die Antworten eure doodeldidu<3

Comments

Hilft dir eventuell https://www.matheretter.de/wiki/abc-formel-herleitung

Answer 1

a x ² + b x + c = 0

Das muss man nun formal nach x auflösen. Zunächst Division durch a:

<=> x ² + ( b / a ) x + ( c / a )  = 0

Quadratische Ergänzung bestimmen:  ( b / ( 2 a ) ) ²  und hinter dem linearen Glied addieren und gleich wieder subtrahieren:

<=> x ² + ( b / a ) x + ( b / ( 2 a ) ) ² - ( b / ( 2 a ) ) ² + ( c / a )  = 0

Die ersten drei Summanden mit Hilfe der ersten binomischen Formel zusammenfassen:

<=> ( x + ( b / ( 2 a ) ) ) ² - ( b / ( 2 a ) ) ² + ( c / a ) = 0

Den Term - ( b / ( 2 a ) ) ² + ( c / a ) auf die andere Seite bringen:

<=> ( x + ( b / ( 2 a ) ) ) ² = ( b / ( 2 a ) ) ² - ( c / a )

Wurzel ziehen:

<=>  x + ( b / ( 2 a ) )  = ± √ ( ( b / ( 2 a ) ) ² - ( c / a ) )

Den Term ( b / ( 2 a ) ) von der linken auf die rechte Seite bringen:

<=>  x = - ( b / ( 2 a ) )  ± √ ( ( b / ( 2 a ) ) ² - ( c / a ) )

Den Radikanden in der Wurzel noch ein wenig umformen:

<=>  x = - ( b / ( 2 a ) )  ± √ ( ( b ² / ( 4 a ) ² ) - ( 4 a c / ( 4 a ² ) ) )

<=>  x = - ( b / ( 2 a ) )  ± √ ( ( b ² - 4 a c )  / ( 4 a ) ² )

Den Nenner 4 a ² als 2 a aus dem Radikanden herausziehen:

<=>  x = - ( b / ( 2 a ) )  ± √ ( b ² - 4 a c )  / ( 2 a )

Die beiden Summanden auf den gemeinsamen Nenner 2 a  schreiben:

<=> x = ( - b  ± √ ( b ² - 4 a c ) ) / ( 2 a )

und das ist die Mitternachtsformel.