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ich komme leider nicht auf die richtige Lösung :( 

Kann mir bitte jemand den Rechenweg zeigen und ein wenig erklären? Mein Kopf will es einfach nicht verstehen -.-

LG

 

Aufgabe: Pyramide befüllen

Volumen V in cm^3 nach der Formel

 

V(a,b) = (1/3) * b * a ^2

a= Seitenlänge b= Höhe

 

1. Untersuchen auf Homogenität

2. Totale Differential im P (6,10) für da (1 ) und db = (-0,5) ; Wert interpretieren.

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Zu 1)

Eine Funktion f : R n -> R heißt homogen vom Grad r , wenn für jede reelle Zahl λ > 0 gilt:

f ( λ x1 , λ x2 , ... , λ xn ) = λ f ( x1 , x2 , ... , xn )

 

Für die vorliegende Funktion V : R 2 -> R ; V ( a , b ) = ( 1 / 3 ) b a 2 gilt:

V ( λ a , λ b ) = ( 1 / 3 )  λ b ( λ a ) 2

= ( 1 / 3 ) * λ b λ 2 a 2

= λ 3  ( 1 / 3 ) b a 2

= λ 3  V ( a . b )

Also ist V ( a , b ) homogen vom Grad 3.

Bedeutung: Multipliziert man alle Variablen mit dem Wert λ, so verändert sich der Funktionswert um das λ 3 - fache.

Eine Verdoppelung von Seitenlänge und Höhe der Pyramide führt also zum 2 ^ 3 = 8 - fachen Volumen.

 

Zu 2)

Das Totale Differential d f einer Funktion f ( x1 , x2 , ... , xn ) ist definiert als

d f = ( ∂ f / ∂ x1) d x1 + ( ∂ f / ∂ x2) d x2 + ... + ( ∂ f / ∂ xn) d xn

 

Für die vorliegende Funktion V ( a , b ) = ( 1 / 3 ) b a 2 ergibt sich demgemäß:

d V = ( ∂ V / ∂ a) da + ( ∂ V / ∂ b) db 

= ( 2 / 3 ) * b * a * da + ( 1 / 3 ) a 2 * db

 

An der Stelle P ( 6 , 10 ) und für da = 1 und db = - 0,5 gilt somit:

d V = ( 2 / 3 ) * 10 * 6 * 1 + ( 1 / 3 ) * 6 2 * ( - 0,5 )

= 40 - 6 = 34

Interpretation:

Verlängert man die Seitenlänge einer quadratischen Pyramide von 6 auf 7 Meter und verringert ihre Höhe von 10 auf 9,5 m , so vergrößert sich ihr Volumen um etwa 34 m 3 

Das totale Differential ergibt nur einen Näherungswert für die tatsächliche Volumenänderung, weil es nur für infinitesimal kleine Veränderungen da bzw. db definiert ist. Eine Veränderung von da =1 bzw. db = -0,5 wie im vorliegenden Beispiel ist jedoch nicht infinitesimal klein.

Zum Vergleich die Berechnung der tatsächlichen Volumenänderung: 

V ( 6 , 10 ) = ( 1 / 3 ) * 10 * 6 2 = 120 m 3

V ( 7 ; 9,5 ) = ( 1 / 3 ) * 9,5  * 7 2 ≈ 155,2 m 3

Volumenänderung: 35,2 m 3

Avatar von 32 k
ICH HABE ES VERSTANDEN!!!!! Ich glaube es ja fast nicht.. :D

 !!!
Toll !!! :-)

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