Lineare injektive Abbildungen. Injektiv gdw Kern nur den Nullvektor enthält.

Question

ich habe eine Frage zu lineare Abbildungen, speziell zu injektiven linearen Abbildungen.

Eine Abbildung ist ja genau dann injektiv, wenn ihr Kern, also die Lösungsmenge nur den Nullvektor enthält.

Warum ist eine Spiegelung eine lineare injektive Abbildung? Das würde ja bedeuten, dass durch die Anwendung der Abbildungsmatrix A der Nullvektor nicht gespiegelt wird, sondern unberührt bleibt, das heißt er bleibt Nullvektor.

Und welche Abbildungen sind ansonsten noch injektiv?
Danke und viele Grüße!

Answer 1

Wo ist denn der Nullvektor im Koordinatensystem?

Das ist ein Vektor der Länge 0, der gleichzeitige in alle Richtungen zeigt. 

Man kann Vektoren an jeder beliebigen Stelle im Koordinatensystem ansetzen. Sie haben keine Lage. Nur Länge und Richtung.

Ist der Nullvektor Verbindungsvektor von 2 beliebigen Bildpunkten einer Spiegelung, sind diese beiden Bildpunkte gleich. Ebenso sind die Urbildpunkte gleich, also nur ein Punkt.

Definition von injektiv.
Wenn du die Definition Nr. 3  von injektiv hier : https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität zu Hilfe nimmst und nicht diesen 'gdw'-Satz. Ist es vermutlich einfacher.
Definition: f heißt injektiv, wenn ungleiche x-Werte stets auf ungleiche y-Werte abgebildet werden.
Das ist bei einer Spiegelung zweifellos der Fall.
 

Linearität

Da Spiegelungen durch Spiegelungsmatrizen beschrieben werden können, sind Spiegelungen linear.