Allgemeine Form einer Parabel 3. Ordung:
f ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d
Laut Aufgabenstellung gilt:
1)
f ( 0 ) = 0
also:
a * 0 3 + b * 0 2 + c * 0 + d = 0
<=> d = 0
2)
f ( - 3 ) = 0
also (weil d = 0 ):
a * ( - 3 ) 3 + b * ( - 3 ) 2 + c * ( - 3 ) + 0 = 0
<=> - 27 a + 9 b - 3 c = 0
3)
f ( x ) hat an der Stelle - 3 die Steigung 6 ( das ist die Steigung der Geraden , zu der die Tangente parallel sein soll, also zunächst die erste Ableitung von f bestimmen:
f ' ( x ) = 3 a x 2 + 2 b x + c
und dort - 3 einsetzen. Der Funktionswert muss 6 sein also:
f ' ( - 3 ) = 3 a ( - 3 ) 2 + 2 b ( - 3 ) + c = 6
<=> 27 a - 6 b + c = 6
4)
Da f ( x ) die x-Achse im Ursprung berührt, muss f dort eine horizontale Tangente haben, es muss also gelten:
f ' ( 0 ) = 0
also:
f ' ( 0 ) = 3 a ( 0 ) 2 + 2 b ( 0 ) + c = 0
<=> c = 0
Einsetzen in die Gleichungen zu 2 ) und 3) :
- 27 a + 9 b - 3 * 0 = 0
27 a - 6 b + 0 = 6
Additionsverfahren: Zweite Gleichung + erste Gleichung:
<=> 0 a + 3 b = 6
<=> b = 2
Einsetzen in die Gleichung zu 2)
- 27 a + 9 * 2 = 0
a = 18 / 27 = 2 / 3
Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also:
f ( x ) = ( - 2 / 3 ) x 3 + 2 x 2
Hier ein Schaubild des Graphen von f sowie der zu g parallelen Tangente im Punkt ( - 3 | 0 ):
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%282%2F3%29x^3%2B2x^2+%2C+6x%2B%2818%29+from-4to2+
Man erkennt, dass die Vorgaben erfüllt sind.
