Der Benzinverbrauch eines Autos

Question

843)

Der Benzinverbrauch eines Autos ist bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h gerade 5 Liter/100km, bei 100 km/h beträgt er 6.5 Liter/100km und bei 130 km/h bereits 9 Liter/100km.

a) Beschreibe die Abhängigkeit des Benzinverbrauchs von der mittleren Geschwindigkeit durch ein quadratisches Modell.

b) Zeichne die Funktion bis zu einer Geschwindigkeit von 170 km/h.

c) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Benzinverbrauch minimal?

d) Um vie viel Prozent ist der Benzinverbrauch bei 90 km/h niedriger als bei 130 km/h?

Comments

Schau vielleicht schon mal bei den 'ähnlichen Fragen'. Z.B. https://www.mathelounge.de/47970/quadratischer-zusammenhang-benzinverbrauch-geschwindigkeit

Answer 1

a)

Sei B ( v )  die Funktion, die den Verbrauch des Autos in Abhängigkeit von der mittleren Geschwindigkeit v desselben beschreibt. Diese soll eine quadratische Funktion sein, also die allgemeine Form:

B ( v ) = a v ² + b v + c

haben.

Laut Aufgabenstellung soll gelten:

B ( 50 ) = 5
B ( 100 ) = 6,5
B ( 130 ) = 9

Dies führt zu dem Gleichungssystem:

a * 50 ² + b * 50 + c = 5
a * 100 ² + b * 100 + c = 6,5
a * 130 ² + b * 130 + c = 9

<=>

2500 a + 50 b + c = 5
10000 a + 100 b + c = 6,5
16900 a + 130 b + c = 9

Löst man dieses Gleichungssystem (das überlasse ich mal dir  ... :-)  so erhält man:

a =  1 / 1500
b = - 7 / 100
c = 41 / 6

Setzt man dies nun in die ganz oben fett gesetzte allgemeine quadratische Funktion B ( v ) ein, so ergibt sich:

B ( v ) = ( 1 / 1500 ) v ² - ( 7 / 100 ) v + ( 41 / 6 )

b)

Hier ein Schaubild des Graphen der Funktion B ( v ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%281%2F1500%29v^2-%287%2F100%29v%2B%2841%2F6+%29from0to170

c)

Ablesung:
Der Graph hat ein Minimum bei etwa v = 50 km/h.
Der Funktionswert an dieser Stelle beträgt etwa 5 l/100km
 

Berechnung:

B ' ( v )  = ( 2 / 1500 ) v - ( 7 / 100 ) = 0

<=> ( 2 / 1500 ) v =  ( 7 / 100 )

<=> v = ( 7 / 100 ) * ( 1500 / 2 ) = 52,5

Da B ' ' ( 52,5 ) > 0 liegt an der Stelle 52,5 km/h tatsächlich ein Minimum von B vor.
Der Funktionswert von B ( v ) an dieser Stelle beträgt:

B ( 52,5 ) ≈ 4,996 l/100 km/h

d)

B ( 90 ) ≈ 5,93 l/100 km/h

B (130 ) = 9 l / 100 km/h

Der Verbrauch bei 90 km/h ist also 9 - 5,93 = 3,07 l/100 km/h niedriger als bei 130 km/h.
Das sind

3,07 / 9 ≈ 0,341 = 34,1 %

weniger Verbrauch als bei 130 km/h.