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c) Es wird nun die Funktion \( f_{3} \) der oben genannten Schar betrachtet, d. h., es gilt \( f_{3}(x)=\left(x^{2}-3\right) \cdot e^{-x}, x \in \mathbb{R} . \) Der Graph der Funktion \( f_{3} \) wird am Ende der Aufgabenstellung dargestellt.

(1) Es sei \( u \) eine beliebige reelle Zahl. Begründen Sie mit Hilfe partieller Integration:

\( \int \limits_{0}^{\infty} f_{3}(x) d x=\left(-u^{2}-2 u+1\right) \cdot e^{-v}-1 \).

(2) Berechnen Sie mit Hilfe von c) (1) den Inhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion \( f_{3} \) und der x-Achse im III. und IV. Quadranten eingeschlossen wird.

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Hallo Icecream,

 

Die Arbeit ist schon etwas umfangreicher. Dies ist vielleicht
nur der erste Schritt. Helfe gern weiter.

Die Lösung von Aufgabe b.)(2) p^2 < 4q -4ist sicherlich falsch.
Es muß p^2 < 4q heißen.

Bei c.) muß  die Partielle Integration 2 mal durchgeführt werden.
Habe ich gemacht.

Bei Fragen und wie es weiter gehen soll bitte melden.

 

mfg Georg

Avatar von 122 k 🚀
Zunächst danke ich Ihnen, für die ausführliche Antwort.

Ich habe Fragen zu der b2) : 1. zu der 4.Zeile : Man kann also einfach (p/2)^2 hinzufügen ?
2. Zu der 5. Zeile : Wo ist px hingeblieben ?
Hallo icecream,

  x^2 + p * x + q = 0

  Dies ist eine Funktion 2.Grades die nach der pq-Formel
ausgerechnet werden kann. Falls du die pq-Formel kennst
ist es glaub´ ich einfacher.
Ich arbeite nicht mit der pq-Formel ( habe ich damals nicht
gelernt ) sondern mit der " Quadratischen Ergänzung ".
Die Ergebnisse sind aber gleich. Wie habe ich umgeformt ?

  x^2 + p * x + q = 0  | -q
  x^2 + p * x = -q  | + (p/2)^2 ( auf beiden Seiten natürlich )
  x^2 + p * x + (p/2)^2  = -q  + (p/2)^2
 ( x + p/2  )^2 = -q  + (p/2)^2

Zu deiner Frage wo ist das px geblieben ?
( x + p/2  )^2 =   x^2 + p * x + (p/2)^2
Es steckt jetzt im Ausdruck ( x + p/2 )^2

 ( x + p/2  )^2 = -4q / 4  + p^2 /4
 ( x + p/2  )^2 = ( p^2  - 4q ) / 4 | Wurzelziehen
x + p/2 = ±√ [ ( p^2  - 4q ) / 4 ]

Der Term
[ ( p^2  - 4q ) / 4 ] muß positiv oder 0 sein damit ich die Wurzel ziehen kann
=> p^2 - 4q >= 0
p^2 >= 4q  | ergibt Lösungen
Für p^2 < 4q gibt es keine Lösungen.

Bin gern noch weiterhin behilflich.
Ich kann auch den Ausdruck eines Computerprogramms hier einstellen
oder Fragen beantworten.

mfg Georg

Anmerkung : hier im Forum wird normalerweise " du " gesagt.

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