Polynome und ihre Grade: deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q). Warum Ungleichung?

Question

habe eine Frage/Aufgabe zu Polynomen:

Für zwei ganze Zahlen a und b setzen wir

                         a   falls a ≥ b

max(a,b) :=
                                                           
.                         b falls a ∠ b

Seien P und Q beliebige Polynome. Zeige:

deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q)

Wieso ist das eine Ungleichung und keine Gleichung ? Kannst du ein Beispiel angeben, in

dem die beiden Seiten wirklich nicht gleich sind ?

Brauche Hilfe, weiß nichteinmal wie ich anfangen soll !

mfg Michael

Comments

P(x) = x, Q(x) = -x.

Answer 1

Wieso ist das eine Ungleichung und keine Gleichung ?

Nun, wenn die Polynome P und Q verschiedenen Grades sind, dann gilt immer:

deg(P + Q) = max(deg P, deg Q)

 

Wenn P und Q allerdings gleichen Grades sind, wenn also gilt:

P ( x ) = p_k x ^k + ...+ p₀ x ⁰

und

Q ( x ) = q_k x ^k + ...+ q₀ x ⁰

dann muss man aufpassen! Dann gilt nämlich: 

deg(P + Q) = max(deg P, deg Q) <=> p_k ≠ - q_k

Andernfalls, also wenn p_k = - q_k  ist, dann gilt:

deg(P + Q) < max(deg P, deg Q)

 

Ein Beispiel dafür hat Gast hj19 in seinem Kommentar bereits genannt:

P ( x ) = 1 * x

Q ( x ) = - 1 * x

Es ist:

p_k = 1 und q_k = - 1 , also p_k = - q_k 

und daher:

deg(P + Q)  = deg ( x + ( - x ) ) = deg ( 0 ) = 0 < max(deg P, deg Q) = max ( 1,1 ) = 1

 

Vielleicht hilft dir das bei dem Beweis ...?

Comments

Du hast geschrieben es gilt immer deg(P+Q) = max(deg P, deg Q), aber ich soll ja sagen wieso das eine Ungleichung ist und keine Gleichung, wie soll ich's machen ? mfg Michael

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Du hast geschrieben es gilt immer deg(P+Q) = max(deg P, deg Q),

Nein, ich habe geschrieben:

wenn die Polynome P und Q verschiedenen Grades sind, dann gilt immer:

deg(P + Q) = max(deg P, deg Q)

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Das steht aber nicht da welchen Grades

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Egal, einfach: wieso Ungleichung und nicht Gleichung ?

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JotEs hat ja ein Beispiel angegeben:

Ein Beispiel dafür hat Gast hj19 in seinem Kommentar bereits genannt:

P ( x ) = 1 * x  

Q ( x ) = - 1 * x

P+Q (x) = 0

deg(P) = 1

deg(Q)=1

deg(P+Q) = 0

Damit du nicht das gleiche Beispiel hast, wie dein Kollege

 

Ein Beispiel dafür hat Gast hj19 in seinem Kommentar bereits genannt:

P ( x ) = 1 * x^2 + 2

Q ( x ) = - 1 * x^2 + 2x

P+Q (x) = 2x+2 

deg(P) = 2, deg(Q)=2, deg(P+Q) = 1

1 < 2