ich soll $$f: [0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{ x }$$ auf Differenzierbarkeit an allen Punkten überprüfung und ggf. die Ableitung bilden.
Eine Funktion ist an einem Punkt x0 differenzierbar, wenn der Differentialquotient existiert.
Für x0 = 0:
$$ \frac{ f(x) - f(0) }{ x - 0 } = \frac{ \sqrt{ x } }{ x } = \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } }$$
und $$\lim_{ x \rightarrow 0 } \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } } = \infty$$, also existiert die Ableitung/ der Differentialquotient an der Stelle x0 = 0 nicht, oder?
Für x0 > 0:
$$ \frac{ f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 } = \frac{ \sqrt{ x } - \sqrt{ x_0 } }{ x - x_0 } = \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } + \sqrt{ x_0 } }$$
und $$ \lim_{ x \rightarrow x_0 } \frac{ 1 }{ \sqrt{ x } + \sqrt{ x_0 } } = \frac{ 1 }{ 2 \cdot \sqrt{ x_0 }}$$, also für x0 > 0 ist f differenzierbar.
Ist das richtig und auch die richtige Vorgehensweise? Haben dazu in der Vorlesung leider nicht wirklich Beispiele gemacht...
Danke,
Thilo
