Extremwertaufgabe: Querschnitt der Rinne: Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis

Question

2.) Für eine Wasserrinne sol ein Blech der Breite 40 cm und beliebiger Lange verwendet werden. Der Querschnitt der Rinne soll ein Halbkreis mit aufgesetztem Rechteck sein. Es ist sinnvoll die Rinne so zu formen, dass sie moglichst viel Wasser aufnehmen kann. Wie hoch werden also die Seitenrander sein und wie groß ist der Radius des Halbkreises?

Answer 1

Nebenbedingung:

U = 2·h + pi·r = 40
h = U/2 - pi/2·r

Hauptbedingung:

A = 2·h·r + 1/2·pi·r^2
A = 2·(U/2 - pi/2·r)·r + 1/2·pi·r^2
A = U·r - pi·r^2/2
A' = U - pi·r = 0
r = U/pi

h = U/2 - pi/2·r
h = U/2 - pi/2·(U/pi)
h = 0

Damit sollte das aufgesetzte Rechteck die Höhe von Null haben und die Rinne nur aus dem Halbkreis bestehen.