Vektoralgebra Ebenen und Normalform: Geben Sie die Gleichung von E in parameterfreier Form an

Question

Aufgabe Vektoralgebra:

Eine Ebene \( E \) enthält den Punkt \( P_{0}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right) \) und hat den Normalenvektor \( \mathbf{n}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \).

Die Gerade \( g \) verläuft durch die Punkte \( P_{1}=\left(\begin{array}{c}9 \\ -4 \\ 12\end{array}\right) \) und \( P_{2}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ -3\end{array}\right) \)

Geben Sie die Gleichung von \( E \) in parameterfreier Form an.

Bestimmen Sie die Geradengleichung von \( g \) sowie den Durchstoßpunkt der Geraden durch die Ebene \( E \).

Bestimmen Sie den Schnittwinkel zwischen Gerade \( g \) und Ebene \( E \).

Ansatz:

Die Gleichung E in paramenterfreier Form wäre das x+y=3?

Comments

Beim Schnittpunkt habe ich S=(1,2,2) heraus und beim Schnittwinkel -71,568° kann mir da jemand sagen ob das richtig ist?


Danke

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1. Stellen Sie fest, für welche Werte der reellen Parameter \( x \) und \( y \) sowohl die drei Vektoren
\( \left(\begin{array}{c}1 \\ x \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0 \\ -2 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1 \\ y \\ 2\end{array}\right) \)
als auch die drei Vektoren
\( \left(\begin{array}{l}y \\ 1 \\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}x \\ 3 \\ -1\end{array}\right) \)
linear abhängig sind.

Bei der ersten Aufgabe habe ich:

x<=-6

y>=1

und bei der zweiten

x>=1

y=∑-(14+2ⁿ)

Answer 1

zu 3)

Po (p_x=1,p_y=3,P_z=2)

Da der Normalenvektor (n_x=1,n_y=0,n_z=1) keine y-Koordinate aufweist, darf in der Ebenengleichung in Koordinatenform (parameterfreie Form) kein y vorkommen:

E: n_x*x + n_y*y + n_z*z = n_x*Px + n_y*Py + nz*P_z  -> x + z = 3

Schnittpunkt ergibt sich, wenn man die Geradengleichung in Parameterform aufstellt, was bei Vorliegen von zwei Punkten auf der Geraden bestens funktioniert.

Dann setzt man die Geradengleichung koordinatenweise in die Ebenengleichung ein und bestimmt sich das Lambda. Dieses Lambda in die Geradengleichung eingesetzt, ergibt den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene.

Ergebnis: S(1,0,2)

Da der Schnittpunkt ein Punkt auf der Ebene ist und wir Po von Anfang an kennen, können wir in der Ebene einen Richtungsvektor ermitteln. Nutzt man bei diesem Vektor und beim Richtungsvektor der Geraden das Skalarprodukt, bekommt man den Winkel zwischen g und E (Ergebnis: 72,65 °)

Comments

Ich rechne dort mit den werten (-12,6,-15) und (9,-4,12) bekomme dann immer -71,568 heraus. Ich verstehe da nicht was ich falsch mache

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wie kommst du auf den Vektor (9, -4, 12) ? Das ist ein Punkt auf der Geraden g, der nicht in der Ebene E liegt. Denn wenn man diesen Punkt in die Ebene (x + z muss 3 sein) einsetzt, erhält man:

9 +12 = 21 und 21 ist verschieden von 3.