Schnittmenge von Unterräumen?

Question

ich habe die folgende Aufgabe:

U1, U2 seien Unterräume eines Vektorraumes V endlicher Dimension, und
es sei dim U1 + dim U2 > dim V . Zeigen Sie, dass U1 (geschnitten) U2 =/= {O} gilt.

Der Beweis folgt wohl aus der Dimensionsformel.... aber wie kann man das sauber aufschreiben?

Answer 1

Der Dimensionssatz lautet:
dim(U₁∩U₂) = dim(U₁)+dim(U₂) - dim(U₁+U₂)

Mit der Annahme folgt:

dim(U₁∩U₂) > dim V - dim(U₁+U₂)

Da U₁ und U₂ Unterräume von V sind, gilt in jedem Fall U₁+U₂⊆V, also auch dim(U₁+U₂)≤dim V

Daraus folgt:

dim(U₁∩U₂) > dim V - dim V = 0

dim(U₁∩U₂) > 0

Die Dimension der Schnittmenge ist echt größer als 0, also ist sie nicht leer.

Comments

Hab vielen Dank Julian. Ich kann der Beweisführung folgen und verstehe es jetzt auch.