Wie viel Lösungen hat die Gleichung: x^2+y^2 = 4z+3

Question

Wieviele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung x^2+ y^2= 4z + 3?

Dabei weiss ich, dass gilt:

 x^2+ y^2= 4z + 3  ↔  x^2+ y^2≡ 3 (mod 4)

Ich hab schon gehört das die Gleichung keine Lösungen hat da  x2+ y26 ≡ 3 (mod 4) nicht gilt !

Ich weiss aber nicht genau wie ich das zeigen soll:

Dabei sollte man das glaubig ja  irgendwie für die Zahlen

(4k+1)^2 =

(4k+3)^2 =

zeigen und was für ein Rest kommt bei Quadratzahl+Quadratzahl  : 4

Answer 1

Auf jeden Fall muss eine der beiden Zahlen eine gerade und die andere Zahl eine ungerade Zahl sein, denn wenn beide ungerade oder beide gerade sind, dann ist die Summe in jedem Fall gerade und damit gibt es bei Teilung durch 4 entweder den Rest 0 oder den Rest 2.

Ist nun also eine Zahl gerade (z.B. x) dann ist x² auf jeden Fall durch 4 teilbar, denn x ist gerade bedeutet ja:

x = 2k für ein ganzzahliges k, also

x² = 4k² = 4j für ein ganzzahliges j=k².

Also muss y² ≡ 3 (mod 4) gelten.

y ist eine ungerade Zahl, also eine Zahl der Form

y = 2k+1 mit ganzzahligem k. Also gilt:

y² = (2k+1)² = 4k² + 4k + 1 = 4*(k²+k)+1

Jede ungerade Quadratzahl hat also bei Teilung durch 4 den Rest 1, damit besitzt die Gleichung überhaupt keine ganzzahligen Lösungen.

Comments

für x und y gerade mod 4 gibt es immer den rest 0, da beide komponenten vielfache der zahl 4 sind.