Schnittpunkte von Graphen

Question

g(x)=-e^{0,5x}+e und f(x)=-0,5x+e^{-x} ,gesucht werden die Schnittstellen der Funktionen.Die Lösung ist

x=-0,5229 und y=2,8015.Leider kann ich den Lösungsweg nicht ermitteln.Ich bitte um Hilfe und Unterstützung.

 

Comments

Die Gleichung lässt sich nur über ein Näherungsvefahren lösen (z.B. Newton), weil x als Basis und Exponent zugleich auftritt. Oder du wählst die graphische Lösung.

Answer 1

Gleichsetzen

- e^{0.5·x} + e = - 0.5·x + e^{-x}

e^{0.5·x} + e^{-x} - e - 0.5·x = 0

Newtonverfahren: x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Ich verzichte auf der rechten Seite mal auf das tiefergestellte n.

x_n+1 = x - (e^{0.5·x} + e^{-x} - e - 0.5·x) / (0.5·e^{0.5·x} - e^{-x} - 1/2)

Nun wählt man für x eine Näherungslösung und setzt diese auf der Rechten Seite ein. Als Ergebnis erhält man eine bessere Lösung.

Laut vertetabelle ist wohl zwischen -1 und 0 eine Nullstelle und zwischen 2 und 3. Also beginne ich mit -0.5

x0 = -0.5
x1 = -0.5231679025
x2 = -0.5228916308
x3 = -0.5228915910
x4 = -0.5228915910

Das gleiche jetzt noch mit 2.5

x0 = 2.5
x1 = 2.840347755
x2 = 2.802089600
x3 = 2.801548053
x4 = 2.801547945
x5 = 2.801547945

Damit haben wir recht gute Werte für die Näherung gefunden.