Überprüfen ob die Teilmengen stets Untervektorräume von K^n sind

Question

Es seien ein Körper \( K \) und \( n \in \mathbb{N} \) mit \( n \geq 3 \) gegeben. Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen stets Untervektorräume von \( K^{n} \) sind.

\( \left\{x \in K^{n} \mid x_{3}=-1\right\} \) 
\( \left\{x \in K^{n} \mid n x_{1}+(n-1) x_{2}+\ldots+1 x_{n}=-1\right\} \) 
\( \left\{x \in K^{n} \mid(-1)^{2} x_{1}=(-1)^{3} x_{2}=\ldots=(-1)^{n+1} x_{n}\right\} \) 
\( \left\{x \in K^{n} \mid x_{1} x_{2}+x_{2} x_{2}+\ldots+x_{n} x_{2}=0\right\} \) 
\( \left\{x \in K^{n} \mid x_{1}^{n}=x_{2}^{n-1}=\ldots=x_{n}^{1}\right\} \)

Ich weiss, dass ich die Untervektorraumaxiome überprüfen muss, aber da hier K ein beliebiger Körper ist, wird es doch immer ein Körper geben, für welchen die Axiome erfüllt sind. Vielleicht kann es mir jemand anhand einer Teilaufgabe erklären.

Answer 1

Die ersten beiden Räume enthalten z.B. den Nullvektor nicht. Wenn es einen Körper gibt, so dass die Menge kein UVR ist so ist nein anzukreuzen (das stets in dieser Aufgabenstellung). Ob es für andere Körper ein UVR ist ist egal.