Von Koordinaten- auf Parameterform

Question

Aufgabe:

Ich muss bei Ebenen von der Koordinatenform auf die Parameterform kommen. Ich weiß, wie es geht, wenn alle drei x-Werte da sind, sprich x₁ x₂ und x₃. Bei diese Aufgabe fehlt aber x₃ und ich weiß leider nicht, wie ich von Koordinatenform auf die Parameterform komme.

\( E:-7 x_{1}+7 x_{2}=-7 \)

Problem/Ansatz:

Ich stelle euch zur Veranschaulichung noch ein bild rein ich hoffe ihr könnt mir helfen danke Erich im Voraus

Comments

x₃ ist auch da, nur ist der Faktor Null :-)

Also rechne so, wie Du immer rechnest

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So sieht die Ebene (grün) im Koordinatensystem aus:

Wer ist Erich?

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Answer 1

Aloha :)

Ein Punkt im 3-dimensionalen Raum ist durch 3 Freiheitsgrade \((x_1;x_2;x_3)\) festgelegt. Ein Freiheitsgrad ist eine Variable, die du frei wählen kannst. Ein Freiheitsgrad entspricht einer Dimension. Wenn du nun eine Ebenengleichung hast, wie z.B.$$-7x_1+7x_2=-7\quad\text{oder vereinfacht:}\quad \pink{x_1=1+x_2}$$kannst du nur noch 2 Koordinaten frei wählen (hier: \(x_2\) und \(x_3\)), denn die dritte Koordinate (hier: \(x_1\)) ist durch die Ebenengleichung festgelegt. Du verlierst also einen Freiheitsgrad bzw. eine Dimension. Du kannst nun alle Punkte der Ebene sofort in der Parameterform hinschreiben:$$E\colon\quad\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\pink{1+x_2}\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+x_2\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$$

Answer 2

Du brauchst doch einfach nur drei Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen. Das sind z.B.

(1|0|0), (0|-1|0), aber auch (1|0|5).

Answer 3

Hier mal mein Versuch:

Gegeben ist eine Ebene durch die Koordinatengleichung$$ E:\;{-}7 x_{1}+7 x_{2}=-7 $$Gesucht ist eine Parametergleichung dieser Ebene.

Wir können \(\left(-7\right)\) heraus kürzen und erhalten$$ E:\; x_{1} - x_{2}=1 $$Was können wir damit machen? Offenbar ist \(\left(1 \vert 0  \vert 0\right)\) ein Punkt der Ebene, mit dem wir einen guten Stützvektor \(\overrightarrow{u}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}\) herstellen können. Ein schöner Normalenvektor \(\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\) lässt sich auch unmittelbar ablesen. Daraus bekommen wir ohne jede Rechnung mit \(\overrightarrow{v}=\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{w}=\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}\) zwei hübsche und offensichtlich nicht kollineare Vektoren zusammengeschüttelt, die wir als Spannvektoren verwenden können: $$E:\;\overrightarrow{x}=\overrightarrow{u}+r\cdot\overrightarrow{v}+s\cdot\overrightarrow{w}$$Wir erhalten:$$E:\;\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$$Dabei haben wir eigentlich gar nicht gerechnet...

Answer 4

Probiere einfach, ob du 3 Punkte findest, die nicht auf einer Geraden liegen, die diese Ebenen-Gleichung erfüllen.

A(1 | 0 | 0) ; B(1 | 0 | 1) ; C(0 | -1 | 0)

Dann stellst du mit diesen 3 Punkten eine Ebene in Parameterform auf.

$$\vec x = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -1\\-1\\0 \end{pmatrix}$$