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Aufgabe zur Populationsentwicklung über Meerbarsche:

Im Jahr 1879 wurden in der Bucht von San Francisco 435 Exemplare des Meerbarsches Roccus saxatilis aus dem Atlantik ausgesetzt. 1899 zogen die Fischer der Gegend bereits 617 Tonnen dieser Art an Land. Es wird angenommen, dass dabei (so wie in jedem Jahr) etwa \( 10 \% \) des Bestandes ins Netz gingen. Ein Barsch wiegt durchschnittlich \( 500 \mathrm{~g} \).

a) Wir nehmen an, dass die Entwicklung der Populationsgröße \( N \) der Meerbarsche durch die Differentialgleichung

\( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} N=\lambda N \)

beschrieben werden kann. Ermitteln Sie aus den bekannten Daten einen Wert für \( \lambda . \) Geben Sie nicht nur den Zahlenwert, sondern auch die Maßeinheit an.

b) Welche biologische Bedeutung hat \( \lambda ? \) Geben Sie in einem Satz an, was der Zahlenwert der Konstante jemandem sagt, der von Differentialgleichungen nichts versteht.

c) Skizzieren Sie die zeitliche Entwicklung der Populationsgröße.

d) In welche Richtung muss unsere Abschätzung für \( \lambda \) korrigiert werden, wenn die jährliche Fangquote nicht bei \( 10 \% \) lag, sondern bei \( 5 \% \) oder bei \( 20 \% \) ?


Ansatz:

zu a)
Maßeinheit in Tonnen im Jahr

zu b)
λ ist ein variabler Faktor oder eine Konstante die, die Fischpopulation beeinflusst, d.h. wie viele Fische sind ungefähr vorhanden (Tonnen).

zu c)
Die Meerbarsche haben sich von 1879 bis 1899, also innerhalb von 20 Jahren deutlich vermehrt. Die Kurve muss demnach wie eine e-Funktion steigen.

Avatar von
d/ dt N = k N  ist eine separierbare Differentialgleichung.

Separiere so:

1/N dN = k dt           |∫

ln N = kt + C             | nach N auflösen: e^links = e^rechts

N(t)  = e^{kt + C} = D*e^{kt}

Ich habe mit der e-Funktion schon die richtige Vermutung gehabt, aber ich wäre nie  auf das k oder kt gekommen, da es nicht in der Aufgabe stand. Ich sehe, dass du ein Integral gebildet hast dann den Logarithmus und das C kommt von der Integralrechnung. Letztendlich bleibt nur noch eine Gleichung übrig, mit der e-Funktion. Was meinst du mit elinks=erechts?

Ich will ja N allein haben.

Also

e^{lnN} = N

nach Def. von log. Dasselbe auf beiden Seiten der Gleichung.

Genau, stimmt! N ist die Populationsgröße und das haben wir gesucht.

Welche Werte setzt man in die Gleichung ein?

N(t)=ekt+C=D*ekt


k=
t=Zeiteinheit
D=

C=Konstante

k und D kannst du mit Hilfe der gegebenen Werte berechnen.
C ist nur in der Zwischenrechnung. Das brauchst du am Schluss nicht mehr.

Gegeben:
435 Exemplare (Anfangswert)
617t=617.000kg
2 Barsche=1kg
617.000*2=1.234.000 Exemplare
-10%=0,10
20 Jahre

Gesucht: N (Entwicklung Populationsgröße)

Lösung:
N(t)=ekt+C=D*ekt

N(t)=ekt=D*ekt

N(t)=e0,1*20=435*e0,1*20

N(t)=7,389=3.214,239

Am Schluss sollte deine Funktion schon noch von t abhängen und der Zwischenschritt mit cem C muss du nicht mehr mitschleppen

N(t)=D*ekt 

N(t)=435*e^{k t}

2 Barsche=1kg 
617.000*2=1.234.000 Exemplare 
Bedeutet, dass N(20) = 10*1'234'000 

N(20)=435*e^k*20  = 1.234.000 * 10

Jetzt das hier nach k auflösen

k = 0.5126505

N(t) = 435* e^{0.5126505*t}           

Dann brauch man bei d)  die 10, entweder durch 5 bzw. 20 ersetzen, stimmt's?

Eine Frage: Wie bist du auf 0.5126505 gekommen?

Wie bist du auf 0.5126505 gekommen?

Ich habe diese Gleichung nach k aufgelöst.

435*ek*201.234.000 * 10         |: 435

ek*201.234.000 * 10    / 435          |ln

k*20 = ln(1.234.000 * 10    / 435)        |:20

k =  ln(1.234.000 * 10    / 435) /20

Dann brauch man bei d)  die 10, entweder durch 20 bei 5% bzw. 5 bei 20% ersetzen, stimmt's? 

Du musst ja den Bestand berechnen aus der Zahl der gefangenen Barsche. Das Ganze in der Annahme, dass die 435 der ursprüngliche Population war, also 1879 keine einheimischen Barsche vorhanden waren.

1 Antwort

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Aus den Kommentaren:

 Am Schluss sollte deine Funktion schon noch von t abhängen und der Zwischenschritt mit cem C muss du nicht mehr mitschleppen

N(t)=D*ekt  

N(t)=435*ek t

2 Barsche=1kg  
617.000*2=1.234.000 Exemplare  
Bedeutet, dass N(20) = 10*1'234'000  

N(20)=435*ek*20  = 1.234.000 * 10

Jetzt das hier nach k auflösen

 

435*ek*20  = 1.234.000 * 10         |: 435

ek*20  = 1.234.000 * 10    / 435          |ln

k*20 = ln(1.234.000 * 10    / 435)        |:20

k =  ln(1.234.000 * 10    / 435) /20

k = 0.5126505

N(t) = 435* e0.5126505*t           

 

Dann brauch man bei d)  die 10, entweder durch 20 bei 5% bzw. 5 bei 20% ersetzen, stimmt's? 

Du musst ja den Bestand berechnen aus der Zahl der gefangenen Barsche. Das Ganze in der Annahme, dass die 435 der ursprüngliche Population war, also 1879 keine einheimischen Barsche vorhanden waren.

Du weisst ja nun selbst, wie du weiterkommst.

Avatar von 162 k 🚀

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