offenes intervall, nullstelle, funktion

Question

Seien I ⊂ R ein offenes Intervall mit [a,b] ⊂ I und f : I → [a,b] stetig. Zeigen Sie: Die Funktion g : I → R mit g(x) = f (x) − x besitzt mindestens eine Nullstelle in [a, b].

Answer 1

Nach Voraussetzung gilt \(a\leq f(x)\leq b\) für alle \(x\in I\). Insbesondere gilt \(a\leq f(a)\) und \(f(b)\leq b\). Für die Funktion \(g\) gilt daher \(g(a)=f(a)-a\geq0\) und \(g(b)=f(b)-b\leq0\). Die Behauptung folgt nun aus dem Zwischenwertsatz.