Monotononie. Zeige: f(x)= 1 /(1+x) ist streng monoton fallend auf [0,∞).

Question

Gegeben sei f : [0,∞) → R mit

f(x)= 1 /(1+x)

a.) Zeigen Sie: f ist auf [0, ∞) streng monoton fallend.

b.) Berechnen Sie lim x --> unendlich  und geben Sie f ([0, ∞)) an.

1/1+x.
c.) Geben Sie Definitionsbereich sowie Bild der Umkehrfunktion f ^-1 von f an. Berechnen Sie die
Funktionsvorschrift von f ^-1.

Answer 1

f ( x ) = 1 / ( 1 + x  )  | ich füge einmal eine Klammerung hinzu
1.Ableitung
f ´ ( x ) = - 1 / ( 1 + x )^2
str. monoton fallend
f ´( x ) < 0
- 1 / ( 1 + x )^2 < 0
( 1 + x ) ^2 > 0
ist stets der Fall   ( Quadratzahl ) außer x = -1
x = -1 liegt außerhalb des Def-Bereichs
Also ist  f ( x ) im Def-Bereich str.monoton fallend.

b.) Berechnen Sie lim x --> unendlich  und geben Sie f ([0, ∞)) an.
 1 / ( 1 + x  ) der Nenner geht gegen ∞. 1 / ∞ geht gegen 0.
f ( 0 ) = 1 / ( 1 + 0 ) = 1 / 1 = 1
Wertebereich = ] 0 ; 1 ]

Die Funktion
y = 1 / ( 1 + x  )
wird zur Umkehrfunktion durch Vertauschung von x und y.
x = 1 / ( 1 + y )
1 + y = 1 / x
y = 1 / x - 1
f^{-1} ( x ) = 1 / x - 1  | bitte beachten Punkt vor Strich also : ( 1 / x  ) - 1
Der Def.Bereich der Funktion : [ 0 ; ∞ [ ist der Wertebereich der Umkehrfunktion
Der Wertebereich der Funktion  ] 0 ; 1 ] ist der Def-Bereich der Umkehrfunktion.

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mfg Georg