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gegeben sei die 3x3 Matrix

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Ich soll zeigen, dass Spalten- und Zeilenraum übereinstimmen, indem ich zeige, dass alle Zeilenvektoren im Spaltenraum liegen. Wie mache ich das?

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Nun, der Spaltenraum ist gegeben durch

SR = { S = ( s1, s2 , s3 ) | S = ( a * ( 1 , 2 , 3 ) , b * ( 4 , 5 , 6 ) , c * ( 7 , 8 , 9 ) ) ; a, b, c ∈ R }

Zu zeigen ist, dass sich die Zeilenvektoren als Linearkombinationen  der Spaltenvektoren darstellen lassen, ob es also für jeden Zeilenvektor Zi relle Zahlen ai, bi, ci existieren, sodass gilt:

Zi = ( ai * ( 1 , 2 , 3 ) , bi * ( 4 , 5 , 6 ) , ci * ( 7 , 8 , 9 ) )

Für den ersten Zeilenvektor Z1 muss also gelten:

( 1 , 4 , 7 ) = ( a1 * ( 1 , 2 , 3 ) , b1 * ( 4 , 5 , 6 ) , c1 * ( 7 , 8 , 9 ) )

Das führt auf das Gleichungssystem:

a1 + 4 b1 + 7 c 1 = 1
2 a1 + 5 b1 + 8 c 1 = 4
3 a1 + 6 b1 + 9 c 1 = 7

Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen der Form

( a , b , c ) = ( t , ( 20 / 3 ) - 2 t , t - ( 11 / 3 ) ) , t ∈ R

Z1 ist also als Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix darstellbar und liegt somit im Spaltenraum.

Zeige nun, dass Selbiges auch für Z2 und Z3 gilt. Wenn dir das gelungen ist, dann hast du die Aufgabe erfüllt.

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