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habe folgende Aufgabe, bei der ich überhaupt nicht weis wie ich da vorgehen soll

 

Beweise für alle n ∈ ℕ

1)  (k=1 bis n) ∑ 1/ k(k+1)  =  1 - 1/(n+1)

 

2) (k=1 bis n) ∑ k3 = (n2 (n+1)2) / n

 

Hoffe mir kann jemand helfen...

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Ist dir die Beweistechnik "Vollständige Induktion" bekannt?

1 Antwort

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Hi,

Aufgabe 1)

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1} $$ weil sich alle, bis auf den ersten und letzten Summanden, gegenseitig aufheben. Kann man nachrechnen durch Indexverschiebung.

Aufgabe 2)

Deine Behauptung stimmt so nicht, es muss heissen

$$ \sum_{k=1}^{n}=\frac{n^2(n+1)^2}{4}  $$

Hier muss man vollständige Induktion anwenden.

IA: Für n=1 stimmt die Behauptung offensichtlich

IV: Es gilt $$ \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}  $$

IB: Es muss gezeigt werden das gilt $$ \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} $$

$$ \sum_{k=1}^{n+1}k^3=\sum_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3=\frac{(n+1)^2}{4}(n^2+4n+4)=\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4} $$ und fertig.
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