DGL 1. Ordnung lösen xyy' - y² = x²

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Hallo zusammen,

ich habe folgende DGL 1. Ordnung, welche ich lösen muss.

xyy' - y² = x²

Ich habe zunächst durch xy geteilt und konnte dann bei y² und x² kürzen. Danach habe ich eine  Substitution gemacht mit u=y/x und habe die diese dann berechnet. Sieht dann wie folgt aus.

y' - y/x = x/y

Substitution: u= y/x        y=u*x       y'= u'*x+u

Eingesetzt:

u'*x + u - u = 1/u

u'*x = 1/u

du/dx *x = 1/u

u du = dx/x

1/2 u² = lnx +C

u² = 2lnx +C

u = Wurzel(2lnx +c)

Rücksubstitution: u = y/x

y/x = Wurzel(2lnx +C)

y = x*Wurzel(2lnx +C)

 
Als Ergebnis habe  ich nun 


.


Ist das so korrekt? Leider habe ich keine Ergebnis zum Abgleich.

Danke schon mal für eure Antwort.

Gefragt 10 Jul 2012 von Hassa

Hi Hassa, sei bitte so lieb und beachte für die nächsten Fragen:

1. Formel möglichst mit in den Fragentitel, denn bei 100 Fragen mit "DGL 1. Ordnung lösen" sieht keiner mehr durch ;)

2. Setze Formeln wie x*Wurzel(2lnx+c) zur besseren Lesbarkeit als Bild ein: Einfach im Formeleditor erstellen, Bild speichern und hier hochladen.

Vielen Dank, Kai

Hi Kai,

wollte das im Titel gerade noch ändern. Dann änder ich das mit dem Bild ebenfalls.

Gruß
danke, jetzt ist es schön =)

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Beste Antwort

Ja, das ist richtig, mit einer kleinen Einschränkung: du hast nur eine von zwei möglichen Lösungen, weil du beim Wurzelziehen die negative Lösung nichtbeachtest. Am Ende also einfach noch ein ± davor, dass ist es so allgemein wie möglich.

Testen ob es richtig ist, kannst du, indem du deine Lösung wieder in die Differentialgleichung einsetzt.


Erstmal muss man y'(x) berechnen:
(Ich rechne das mal für deine Lösung, also mit dem Plus durch.)

Offensichtlich ist die DGL erfüllt, damit ist das eine richtige Lösung.

Beantwortet 10 Jul 2012 von Julian Mi Experte X
mich würde interessieren, was das überhaupt ist: xyy' - y² = x² ?

Ich kannte bisher nur f(x) = ... = y

In der höheren Mathematik und vor allem in der Physik, sind die Lösungen von Aufgaben nicht mehr nur Zahlen, sondern manchmal auch Funktionen - für diese Funktionen sind dann gewisse Zusammenhänge bekannt, aus denen man die tatsächliche Funktion rekonstruieren muss.


Im oberen Fall ist eine Funktion y(x) gesucht, für die die Gleichung

x*y(x)*y'(x)-y(x)2=x2

erfüllt ist.

y'(x) ist die Ableitung von y an der Stelle x, also ihre Steigung an dieser Stelle.

Eine solche Gleichung, wo eine Funktion und ihre Ableitungen vorkommen, nennt man Differentialgleichung.

 

Die Gleichung aus der Aufgabe ist eine nichtlineare, gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung.

Das bedeutet:
- nichtlinear: die Gleichung ist nichtlinear in y(x) und ihren Ableitungen, das bedeutet, wenn y1(x) und y2(x) Lösungen der Gleichung sind, ist nicht zwingend ( y1+y2)(x) ebenfalls Lösung.

- gewöhnlich: es kommen nur Ableitungen nach einer Variablen, nämlich x vor.

- 1. Ordnung: die höchste vorkommende Ableitung ist die 1., nämlich y'(x)

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