Gegeben seien die folgenden Teilmengen von C^3. Dimension von T1?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die folgenden Teilmengen von \( C^{3} \).

$$ T_{1}:=\left\{\left[\begin{array}{l} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right] \in C^{3}: 5 a-2 b=0\right\} \quad \text { und } \quad T_{2}:=\left\{\left[\begin{array}{l} {a} \\ {b} \\ {c} \end{array}\right] \in C^{3}: c=1\right\} $$

a) Zeigen Sie, dass \( T_{1} \) ein Teilraum des \( C^3 \) ist.

b) Zeigen Sie, dass die Menge
$$ \begin{array}{l} {\qquad \mathcal{B}:=\left\{\left[\begin{array}{l} {0} \\ {0} \\ {1} \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} {2} \\ {5} \\ {0} \end{array}\right]\right\}} \end{array} $$
linear unabhängig ist und ein Erzeugendensystem von \( T_{1} \) bildet. Entscheiden Sie, ob \( \mathcal{B} \) eine Basis von \( T_{1} \) ist.

c) Bestimmen Sie die Dimension von \( T_{1} \)

d) Zeigen Sie, dass \( T_{2} \) kein Teilraum des \( C^{3} \) ist.

Answer 1

a)

T₁ ist Teilraum (auch:Unterraum) des Vektorraumes C³ , wenn T₁ die Teilraumkriterien für Vektorräume erfüllt:

1) T₁ ist nicht leer ( T₁ ≠ ∅ )

Beweis:

Zum Beispiel:

$$t=\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) \in { T }_{ 1 }\quad denn\quad 5*0-2*0=0$$

 

2) Abgeschlossenheit bzgl. der Vektoraddition

Zu zeigen:

$$x,y\in { T }_{ 1 }\Rightarrow (x+y)\in { T }_{ 1 }$$

Beweis:

$$x=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right) ,y=\left( \begin{matrix} { y }_{ 1 } \\ { y }_{ 2 } \\ y_{ 3 } \end{matrix} \right) \in { T }_{ 1 }$$$$\Rightarrow 5{ x }_{ 1 }-2{ x }_{ 2 }=0,5{ y }_{ 1 }-2{ y }_{ 2 }=0$$$$\Rightarrow 5{ x }_{ 1 }-2{ x }_{ 2 }+5{ y }_{ 1 }-2{ y }_{ 2 }=0$$$$\Rightarrow 5{ (x }_{ 1 }+{ y }_{ 1 })-2({ x }_{ 2 }+{ y }_{ 2 })=0$$$$\Rightarrow { (x }+{ y })=\left( \begin{matrix} { { x }_{ 1 }+y }_{ 1 } \\ { { x }_{ 2 }+y }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 }+y_{ 3 } \end{matrix} \right) \in { T }_{ 1 }$$

 

3) Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation

Zu zeigen:

$$a\in C,x\in { T }_{ 1 }\Rightarrow (ax)\in { T }_{ 1 }$$

Beweis:

$$a\in C,x=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right) \in { T }_{ 1 }$$$$\Rightarrow 5{ x }_{ 1 }-2{ x }_{ 2 }=0$$$$\Rightarrow a(5{ x }_{ 1 }-2{ x }_{ 2 })=0$$$$\Rightarrow 5a{ x }_{ 1 }-2a{ x }_{ 2 }=0$$$$ax=\left( \begin{matrix} { ax }_{ 1 } \\ a{ x }_{ 2 } \\ a{ x }_{ 3 } \end{matrix} \right) \in { T }_{ 1 }$$

 

b)

Zwei Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden.

Für die gegebenen Vektoren ist also zu zeigen, dass:

$$\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) =r\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) +s\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right)$$

nur dann gilt, wenn r = s = 0 ist.

Die gezeigte Gleichung führt auf das Gleichungssystem:

$$0=0r+2s$$$$0=0r+5s$$$$0=r+0s$$$$\Rightarrow r=s=0$$

Also sind die beiden Vektoren linear unabhängig.

Sie bilden auch ein Erzeugendensystem von T₁, denn jedes Element von T₁ lässt sich als Linearkombination der beiden Vektoren aus B darstellen:

$$x=\left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right) \in { T }_{ 1 }$$$$\Rightarrow 5x_{ 1 }-2x_{ 2 }=0$$$$\Rightarrow x_{ 1 }=\frac { 2x_{ 2 } }{ 5 }$$$$\Rightarrow \frac { x_{ 1 } }{ 2 } =\frac { x_{ 2 } }{ 5 }$$$$\Rightarrow s=\frac { x_{ 1 } }{ 2 } =\frac { x_{ 2 } }{ 5 }$$$$\Rightarrow x_{ 1 }=2s,{ x }_{ 2 }=5s$$$$\Rightarrow \left( \begin{matrix} { x }_{ 1 } \\ { x }_{ 2 } \\ { x }_{ 3 } \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} { 2s } \\ 5s \\ r \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ r \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} 2s \\ 5s \\ 0s \end{matrix} \right) =r\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right) +s\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right)$$

B ist auch Basis von T₁, da sie ein kleinstes Erzeugendensystem von T₁ ist, denn wenn man etwa \(\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right)\) aus der Basis entfernt, behält man nur \(\left( \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} \right)\) übrig, und damit lässt sich etwa der Vektor \(\left( \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ 0 \end{matrix} \right)\), der Element von T₁ ist, nicht erzeugen.

c)

überlasse ich mal dir .-)

d) T₂ ist kein Teilraum von C ³ weil T₂ bzgl. der Vektoraddition nicht abgeschlossen ist:

$$a=\left( \begin{matrix} { a }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \\ 1 \end{matrix} \right) ,b=\left( \begin{matrix} { b }_{ 1 } \\ b_{ 2 } \\ 1 \end{matrix} \right) \in { T }_{ 2 }$$$$\Rightarrow (a+b)=\left( \begin{matrix} { a }_{ 1 }+{ b }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 }+{ b }_{ 2 } \\ 2 \end{matrix} \right) \notin { T }_{ 2 }$$