Ebenengleichungen: Punkte überprüfen

Question

Gegeben sind die Ebene E mit:

\( E: \vec{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s-\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \), \( r, ~s \in \mathbb{R} \)

sowie \( A(3|0|0) \) und \( B(-1|0|0) \).

Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B.

Zeigen Sie, dass A nicht in E liegt.

Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{A B} \) in \( E \) liegt.

Untersuchen Sie, ob der Richtungsvektor der Geraden \( \mathrm{g} \) auf den Spannvektoren der Ebene E senkrecht steht.

Answer 1

E: X = [1, 0, 0] + r * [0, 1, 0] + s * [0, 1, 1]

Ebene und Punkt gleichsetzen

[1, 0, 0] + r * [0, 1, 0] + s * [0, 1, 1] = [3, 0, 0]

Nach der ersten Gleichung müsste gelten

1 + 0r + 0s = 3

Das geht ja nun nicht. Darum liegt A nicht in der Ebene

MAB = ([3, 0, 0] + [-1, 0, 0]) / 2 = [1, 0, 0]

Das ist ja gleichzeitig der Stützvektor der Ebene. Also liegt MAB in der Ebene.

Zur Frage 3:

Es sollte klar sein das der Richtungsvektor der Geraden [1, 0, 0] ist.

[1, 0, 0] * [0, 1, 0] = 0

[1, 0, 0] * [0, 1, 1] = 0

Damit ist der Richtungsvektor senkrecht zu den Spannvektoren.

Comments

Wie kommst du auf den Richtungsvektor (1,0,0) bei der Geraden g, bekannt ist doch nur dass g durch die Punkte A und B geht für mich wäre AB somit der Richtigsvektor ( ergibt bei mir (-4,0,0) ) ???

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Wenn (-4,0,0) ein Richtungsvektor ist, dann auch alle seine (nicht verschwindenden) Vielfachen...

wie kann ich jetzt begründen, dass der Richtungsvektor senkrecht auf der Spannvektoren steht?

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Ich habe das man dam Skalarprodukt gemacht.

https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt

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Aber wie kommst du denn auf deinen Richtungsvektor, bei meinem (-4,0,0) geht das mit dem Skalarprodukt nicht auf ???

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Wenn (-4,0,0) ein Richtungsvektor ist, dann auch alle seine (nicht verschwindenden) Vielfachen... Kommentiert vor 31 Minuten von Gast jd13

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Ist es denn hier ein Richtungsvektor ?

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Ja B - A ist ein Richtungsvektor von A nach B.