Suche allgemeine Lösungen von zwei Differentialgleichungen. Bsp. y''(x) + 9y(x) = x^2 + 4x -1

Question

Ich brauche Hilfe bei zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Man bestimme die allgemeinen Lösungen der folgenden Differentialgleichungen

Aufgabe 1: y''(x) + 9y(x) = x² + 4x -1
Aufgabe 2: y''(x) + 2y'(x) + 2y(x) = cos(3x)

Aufgabe 1:
y`(x) = 9y(x) = x² + 4x - 1

Schritt 1: homogene Lösung
y`(x) + 9y(x) = 0

Ansatz:
y(x) = C*e^{px}
p² + 9 = 0 ⇒ p_(1/2) = ±3

homogone Lösung:
\( y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e ^{-3x} \)

Schritt 2: inhomogene Lösung
y`(x) + 9y(x) = x² + 4x - 1

Variation der int. Konstanten:
$$ y(x) = C_1 · e^{3x} + C_2 · e^{-3x} \\ y(x) = C_1 · 3e^{3x} + C_2 · (-3e^{-3x}) \\ y`(x) = C_1 · 9e^{3x} + C_2 · 9e^{-3x} $$

Nach dem Einsetzen erhalte ich:

$$ y(x) = -C_1(x)·e^{3x} - C_2 · e^{-3x} + \frac{x^2+4x-1}{9} $$

Im Lösungsbuch steht die Lösung:

$$ y(x) = C_1(x) · cos(3x) + C_2 · sin(3x) + \frac{9x^2 + 36x - 11}{81} $$




Aufgabe 2:

y`(x) + 2y`(x) + 2y(x) = cos(3x)

Bei dieser Aufgabe komme ich zu keiner Lösung. Im Lösungsbuch steht folgende Lösung:

$$ y = e^{-x} (C_1 · cos(x) + C_2·sin(x) ) + (6sin(3x) - 7cos(3x) ) / 85 $$

Comments

Zu deiner Frage 1

Beim Schritt

p^2 + 9 = 0 → p = ±3 hast du i vergessen.

Also p = ±3i.     So kommst du am Schluss auch auf Winkelfunktionen.

Answer 1

1.) Du hast hier mehrere Fehler gemacht. Erstmal ist die Lösung der Gleichung

p² + 9 = 0

nicht p=±3, sondern p=±3i, sonst erhält man ja im Quadrat ein positives Vorzeichen!
Man muss hier folgendes ausnutzen: hat man ein Fundamentalsystem gefunden, dann ist jede Menge von ebensovielen linear unabhängigen Funktionen, die sich als Linearkombination des alten Fundamentalsystems darstellen lassen wieder ein Fundamentalsystem.

Und weil e^3ix = cos(3x)+isin(3x) erhält man hier komplexe Lösungen. Das ist eigentlich nicht besonders schlimm: es ergibt sich dann einfach, dass die Konstanten C₁ und C₂ komplex konjugiert sein müssen, dann ist das Ergebnis wieder reell. Einfacher ist es aber, einfach zu einem neuen Fundamentalsystem überzugehen:

(e^3ix + e^-3ix)/2 = cos(3x)

(e^3ix - e^-3ix)/2i = sin(3x)

Und man hat als homogene Lösung:

y(x) = C₁cos(3x)+C₂sin(3x)

Für die inhomogene Lösung kann man nun die Konstanten variieren, allerdings ist das bei Sinus und Cosinus als Fundamentalsystem und einem Polynom als Inhomogenität eher unschön, weil es auf viel partielle Integration hinausläuft.

Klüger ist es, einfach einen geeigneten Ansatz zu wählen. Es genügt ja eine einzige partikuläre Lösung zu finden und zur homogenen Lösung zu addieren. Nun soll etwas zweimal abgeleitet und zu sich selbst addiert ein Polynom ergeben, das kann natürlich nur ein Polynom sein. Man macht daher den Ansatz:

y_p(x) = ax²+bx+c
y_p'(x) = 2ax + b
y_p''(x) = 2a

und setzt ihn in die Differentialgleichung ein:

2a + 9ax² + 9bx + 9c = x² + 4x - 1

Ein Koeffizientenvergleich liefert:

9a = 1
9b = 4
2a+9c = -1

Mit der Lösung: (a, b, c) = (1/9, 4/9, -11/81) also:

y_p(x) = 1/9 x² + 4/9 x - 11/81 = 1/81*(9x²+36x - 11)

Also lautet die allgemeine Lösung:

y(x) = y_hom(x)+y_p(x)
y(x) = C₁cos(3x)+C₂sin(3x) + 1/81*(9x²+36x - 11)

 

2.) Der e-Ansatz führt auf das Polynom:

p²+2p + 2 = 0

(p+1)² = -1

p = -1 ± i

Die gleiche Konstruktion wie oben führt auf das Fundamentalsystem:

e^-x cos(x), e^-x sin(x)

Also lautet die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:

y(x) = C₁ e^-x cos(x) + C₂ e^-x sin(x)

Wegen der speziellen Form der Inhomogenität bietet sich wieder ein Ansatz an:

Da sich in der ersten und zweiten Ableitung cos(3x) ergeben soll, macht man einen trigonometrischen Ansatz:

y_p(x) = Acos(3x) + Bsin(3x)
y_p'(x) = -3Asin(3x) + 3Bcos(3x)
y_p''(x) = -9Acos(3x) - 9Bsin(3x)

Eingesetzt in die DGL:

-9Acos(3x) - 9Bsin(3x) + 2*(-3Asin(3x) + 3Bcos(3x)) + 2*(Acos(3x) + Bsin(3x)) = cos(3x)

Sortiert man auf der linken Seite nach Sinus und Cosinus:

(-9B - 6A + 2B) sin(3x) + (-9A + 6B + 2A) cos(3x) = cos(3x)

Weil sin und cos linear unabhängig sind, erhält man damit die Gleichungen:

-7B - 6A = 0
-7A + 6B = 1

Addiert man beide Gleichungen, dann erhält man:

-B - 13A = 1

und subtrahiert man sie, dann erhält man:

13B - A = 1

Jetzt nimmt man die erste Gleichung mal 13 und addiert sie zur zweiten:

-170A = 14
A = -7/85

und eingesetzt in eine beliebige Gleichung: B = 6/85

Das liefert die partikuläre Lösung:

y_p(x) = 6/85 sin(3x) - 7/85 cos(3x)

Also als allgemeine Lösung:

y(x) = y_hom(x) + y_p(x)
y(x) = C₁ e^-x cos(x) + C₂ e^-x sin(x) + 6/85 sin(3x) - 7/85 cos(3x)