+1 Punkt
1,1k Aufrufe

Ich brauche eure Hilfe eine um die Aufgabe zu lösen:

Zeigen Sie jeweils direkt mit Hilfe der Definition des Grenzwerts, ob die Folge \( a_n \) konvergiert.

a) \( a _ { n } = \frac { 1 } { n - 3 } \text { für alle } n > 3 \)

b) \( a _ { n } = \frac { 1 } { ( n + 2 ) ^ { 2 } } \)

c) \( a _ { n } = \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { ( n + 2 ) ^ { 2 } } \)

d) \( a _ { n } = \frac { 3 n } { ( n + 3 ) } \)

e) \( a _ { n } = 1 - \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { n } \)

f) \( a _ { n } = 4· \left( \frac { n } { 4 } - \left[ \frac { n } { 4 } \right] \right) \)

Danke!

Gefragt von

1 Antwort

0 Daumen

Um Konvergenz gemäss Definition zu zeigen, muss man die Nummer eines Folgenglieds angeben, ab dem alle weiteren Folgenglieder betragsmässig sicher nicht mehr als Epsilon vom Grenzwert abweichen. 

Sei hier immer Epsilon = 1/m              m Element IN vorgegeben (somit betragsmässig beliebig klein)

a) Behauptung: an = 1/(n-3) ---------> 0

Beweis:

|1/(n-3) - 0|             |n>3

= 1/(n-3) < 1/m falls n-3 > m also für n> m+3 gilt |an - 0| < 1/m qed

b) Behauptung: an = 1/(n+2)^2 -----> 0

Beweis.   |1/(n+2)^2 -0| = 1/(n+2)^2 < 1/m falls

(n+2)^2 > m. Da n> 1 genügt n>m vollauf, damit |an - 0|< 1/m.

c)  Behauptung: an = (-1)^n/(n+2)^2 -----> 0

Beweis.   |(-1)^n/(n+2)^2 -0| = 1/(n+2)^2 < 1/m falls

(n+2)^2 > m. Da n> 1 genügt n>m vollauf, damit |an - 0|< 1/m.     (Anm: wie b)

d) Behauptung: an=3n/(n+3) --------> 3

Beweis:

an =3n/(n+3) = (3(n+3) - 9)/(n+3)              

                     |ergänzen, damit man geeignet kürzen kann  

= 3 - 9/(n+3)

|an -3| = |9/(n+3)| = 9/(n+3) < 1/m

9m < n+3

n> 9m -3 genügt, damit |an-3|< 1/m

e) Behauptung an = 1 - (1/2)^n ----------> 1

Beweis

|1 - (1/2)^n - 1| = 1/2^n < 1/m

2^n > m

n > ln(m)/ln(2)  genügt damit |an-1| <1/m . qed.

f) Kann ich nicht beantworten, da ich nur vermuten kann, was diese eckigen Klammern bedeuten.

Sollte es sich um das abgerundete Resultat einer Division durch 4 handeln, kommen in der runden Klammer immer wieder die Zahlen 0, 0.25, 0.5, 0.75, 0, 0.25, … vor. Multipliziert mit 4 ergibt das immer wieder 0,1,2,3,0,1,2,3,0,…

Da existiert kein Grenzwert. Man findet deshalb auch kein n, ab dem die Abstände vom Grenzwert kleiner als 1/m werden.

Beantwortet von 144 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...