Beweise durch vollständige Induktion: 7 ist ein Teiler von 2^{3n}+13

Question

Beweise durch vollständige Induktion. Für alle n∈ℕ gilt:

a) 7 ist ein Teiler von 2³ⁿ+13

b) 3 ist ein Teiler von 13ⁿ+2

c) 5 ist ein Teiler von 7ⁿ-2ⁿ

wie geht man hier vor? Ich habe schon viele Fragen zur Inuktion gestellt, aber kann mir das jemand nochmal für die a) erklären? Und die b) und c) mache ich dann??

Und woher weiß ich welche Zahlen ich für n einsetzen muss? Also den Induktionsanfang oder wie der auch heißt...

Answer 1

Hi Emre :-)

 

wie ich schon sagte, probiere für den Induktionsanfang (die Induktionsverankerung) eine kleine Zahl, z.B. 0 oder 1.

Wir erhalten für n = 0:

2^3*0 + 13 = 1 + 13 = 14 | davon ist 7 offensichtlich ein Teiler :-)

Annahme:

Die Behauptung gilt für n.

Schritt:

Dann soll sie auch für n + 1 gelten:

7 ist ein Teiler von 2^3*(n+1) + 13

2^3*(n+1) + 13 =

2^{3n + 3} + 13 =

2³ⁿ * 2³ + 13 =

8 * 2³ⁿ + 13 =

7 * 2³ⁿ + 2³ⁿ + 13

Das Fettgedruckte und Unterstrichene gilt laut Induktionsannahme.

Und dass 7 * 2³ⁿ durch 7 teilbar ist, scheint trivial :-D

 

Alles klaro?

 

Lieben Gruß

Andreas

Comments

Hi Andreas :) 

Danke für deine Antwort! 

Es ist mir irgendwie schon peinlich immer weider zu fragen, weil ich schon gestern viele Fragen über Induktion gestellt hab :D (Ich will das einfach verstehe):D 

Ich habe das jetzt bis hier hin nachvollziehen können: 

2^{3n + 3} + 13 =

 

aber ab hier verstehe Ich das wieder nicht...woher kommt die 2³? und dann die 8? ja klar 2³ sind 8 aber da ist doch 2³ⁿ?? und woher kommt dan 7*2??

2³ⁿ * 2³ + 13 =

8 * 2³ⁿ + 13 =

7 * 2³ⁿ + 2³ⁿ + 13

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Hi Emre,

 

Dir ist doch sicher Folgendes bekannt:

a^b+c = a^b * a^c

Beispiel

2³⁺² = 2⁵ = 32 =

2³ * 2² = 8 * 4 = 32

 

Genauso habe ich aus

2^{3n + 3}

2³ⁿ * 2³

gemacht.

 

Dann

8 * 2³ⁿ =

(7 + 1) * 2³ⁿ = | einfaches Ausmultiplizieren:

7 * 2³ⁿ + 1 * 2³ⁿ

 

Simpel, nicht wahr?