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$$ \left.\begin{aligned} 25 - 45 & = 16 - 36 \\ 5 ^ { 2 } - 2 \cdot 5 \cdot \frac { 9 } { 2 } & = 4 ^ { 2 } - 2 \cdot 4 \cdot \frac { 9 } { 2 } \\ 5 ^ { 2 } - 2 \cdot 5 \cdot \frac { 9 } { 2 } + \frac { 81 } { 4 } & = 4 ^ { 2 } - 2 \cdot 4 \cdot \frac { 9 } { 2 } + \frac { 81 } { 4 } \\ \left( 5 - \frac { 9 } { 2 } \right) ^ { 2 } & = \left( 4 - \frac { 9 } { 2 } \right) ^ { 2 } \\ 5 - \frac { 9 } { 2 } & = 4 - \frac { 9 } { 2 } \\ 5 & = 4 \end{aligned} \right. $$

Wer findet den Fehler?

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3 Antworten

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Der Fehler steckt im Übergang von der 4. Zeile mit den Quadraten zur 5. Zeile, denn dort wird die Wurzel gezogen und das Quadrat einfach entfernt, was nicht korrekt ist.


Erklärung:

Eine reelle Zahl (egal ob positiv oder negativ) ergibt quadriert immer den gleichen Wert, und zwar stets positiv.

Wenn wir jedoch eine Wurzel bei einer Gleichung auf beiden Seiten ziehen wollen, müssen wir neben dem positiven Wert der Lösung auch den negativen Wert berücksichtigen. Dieser Sachverhalt wird Ambiguität (Mehrdeutigkeit) genannt.

Wenn wir also oben in der Aufgabe die Wurzel ziehen, müssen wir ein positives und ein negatives Ergebnis berücksichtigen.

$$  \left( { 5 - \frac { 9 }{ 2 }  } \right) ^{ 2 }\ = \left( { 4 - \frac { 9 }{ 2 }  } \right) ^{ 2 } \\ \left( { 0,5 } \right) ^{ 2 } = \left( { -0,5 } \right) ^{ 2 } \\ 0,25 = 0,25 \quad \quad \quad | \text{ Quadrieren hebt das Vorzeichen auf }  $$

Wir wollen wissen, welche Zahl quadriert 0,25 ergibt:

\( x^2 = 0,25 \quad | \sqrt{ \quad } \)

Für das Aufzeigen der positiven und negativen Lösung der quadratischen Gleichung verwenden wir den Betrag:

\( \sqrt{ x^2 } = | x | = 0,5 \)

und erhalten als Lösungen:

\( x_{1} = +0,5 \\ x_{2} = -0,5 \)

Das Ergebnis ist also +0,5 oder -0,5.

$$ { x }^{ 2 }\quad =\quad { y }^{ 2 }\\ x\quad =\quad \pm 0,5\\ y\quad =\quad \pm 0,5 $$

Mit anderen Worten:

Wenn du die Wurzel ziehst, erhältst du stets als Lösung einen positiven Wert (einen Betrag). Wie du jedoch sehen kannst, ist der eigentliche Wert auf der rechten Seite -0,5 (also negativ).

Avatar von 7,3 k
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Wenn man die Quadratwurzel zieht, muss man beachten, dass es zwei Lösungen gibt: Eine positive und eine negative Lösung.

Ich denke da liegt der Fehler.

\( \sqrt( (5-\frac{9}{2})^2 ) = ±(5 - \frac{9}{2}) \)

und

\( \sqrt( (4 - \frac{9}{2})^2 ) = ±(4 - \frac{9}{2})  \)

Avatar von 4,3 k

Auch nach der Bearbeitung bleibt diese Antwort falsch.

\( \sqrt( (5-\frac{9}{2})^2 ) = \red{\pm}(5 - \frac{9}{2}) \)
und
\( \sqrt( (4 - \frac{9}{2})^2 ) =\red{ \pm}(4 - \frac{9}{2}) \)

Richtig wäre

\( \sqrt{(5-\frac{9}{2})^2 }=|5 - \frac{9}{2}|= +(5 - \frac{9}{2})=+0,5 \)

und

\( \sqrt{(4 - \frac{9}{2})^2 }=|4 - \frac{9}{2}|= -(4 - \frac{9}{2})=+0,5 \)

Am deutlichsten wäre:

Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung.

Aus a²=b² folgt nicht a=b, sondern |a|=|b|.

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Jetzt haben wir vier Antworten, die alle falsch sind, die Verwirrung vergrößern, aber teilweise noch likes bekommen.

Kurz (mit Bezug auf andere Antworten):
Die Wurzel hat keine Mehrdeutigkeiten. Die Wurzelfunktion ist eine wohldefinierte Funktion wie andere Funktionen auch. Insb. ist \(\sqrt{4}\neq \pm2\). Nie!

Daher gibt es (siehe matheretter) keine Umformung vom Typ \(\pm\sqrt{}\). Dort wird auf die Webseite matheretter verwiesen, die direkt mehrere Fehler aufweist. Es ist nicht \(\sqrt{x²}=x\), sondern \(\sqrt{x²}=|x|\). Das ist ein häufiger Fehler, der anscheinend nicht auszumerzen ist und es ist ärgerlich, dass das weiter propagiert wird.

jake2042 hat das in seinem Kommentar gut erklärt und dem ist nichts hinzuzufügen. Der Sinn dieser Antwort ist nur, dass jakes Kommentar nicht untergeht. Wenn es jakes Kommentar als Antwort gäbe, wäre meine hier nicht nötig.

Avatar von 5,3 k

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