Aufgabe:
\( \mathrm{a}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ x / 3\end{array}\right) \quad \mathrm{b}=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) \quad \mathrm{c}=\left(\begin{array}{c}x \\ 10 \\ 1\end{array}\right) \)
Für welche Werte \( x \in I R \) sind die Vektoren a und b und c linear abhängig.
Die 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn die aus ihnen gebildete Determinante \( =0 \) ist.
\( \left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & x \\ 2 & 4 & 10 \\ x / 3 & 1 & 1\end{array}\right|=\frac{x}{3} \cdot\left|\begin{array}{cc}-2 & x \\ 4 & 10\end{array}\right|-1 \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & x \\ 2 & 10\end{array}\right|+1 \cdot\left|\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2 & 4\end{array}\right| \)
\( =\frac{x}{3} \cdot(-20-4 x)-10+2 x+8=-\frac{14}{3} x-\frac{4}{3} x^{2}-2=-\frac{4}{3} x^{2}-\frac{14}{3} x-2 \)
\( -\frac{4}{3} x^{2}-\frac{14}{3} x-2=0 \mid \cdot\left(-\frac{3}{4}\right) \)
\( x^{2}+3,5 x+1,5=0 \)
\( x_{1,2}=-1,75 \pm \sqrt{1,75^{2}-1,5}=-1,75 \pm 1,25 \)
\( x_{1}=-0,5 \quad x_{2}=-3 \)
\( \Rightarrow \) Für \( \mathrm{x}=-0,5 \) oder \( \mathrm{x}=-3 \) sind die 3 Vektoren linear abhängig.
Problem:
Muss ich die x Werte x1 und x2 nicht noch *-3/4 nehmen?
