Konvergiert das uneigentliche Integral? ∫(1 bis ∞) dx/x?

Question

$$ \int_{1}^{∞}\frac { dx }{ x } =  $$
$$\int_{1}^{∞} \frac { dx }{ x } = \lim_{b\to∞} \int_{1}^{b} \frac { dx }{ x } = \lim_{b\to∞} [ln(x)]_1^b=$$

Ich habe jetzt einfach wieder für Unendlich eine große Zahl in meinem Kopf eingesetzt und dann minus ln(1) gerechnet und da kommt normal  große Zahl raus, also geht die Funktion gegen Unendlich?

Naja aber dx/x ist ja nichts anderes als 1/x und dies schmigt sich ja an die x-Achse und das geht ja bis Unendlich? Und also muss doch diese Fläche unendlich sein oder?

also ich glaube nur dass dx/x integriert ln(x) ....weil dx ist für mich einfach eine 1 und x ist x und das ist dann also 1/x und das ist integriert lnx
Ich würde das auch gerne selber mit Wolfi kontrollieren, aber ich weiß nicht wie ich das da eingeben muss ...

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Naja aber dx/x ist ja nichts anderes als 1/x und dies schmiegt sich ja an die x-Achse und das geht ja bis Unendlich? Und also muss doch diese Fläche unendlich sein oder?

Vorsicht Emre. 1/x^2 hat als Asymptote die X-Achse und das Integral konvergiert.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+%5Cint_1%5E%5Cinfty+1%2Fx

Answer 1

∫ (1 bis t) 1/x dx = LN(t) - LN(1) = LN(t)

lim (t->∞) LN(t) = ∞

Das Integral konvergiert nicht.

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Hallo Mathecoach :)

juuhhu soweit so gut:)

Ich kann doch einfach mal so für t eine beliebig große Zahl einsetzen oder? zb 3847272214 und dann -ln(1) rechnen und dann kommt doch wieder eine große Zahl raus und das heißt dann das  der Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse unendlich

und damit divregiert das Integral also?

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Du solltest wissen das der LN die Umkehrfunktion der e-Funktion ist. Das heißt die LN Funktion entsteht durch Spiegelung der e-Funktion an der ersten Hauptdiagonalen.

Und weil man bei der e-Funktion beliebig hohe Werte für x einsetzen darf, können bei er LN-Funktion auch beliebig hohe Werte als Funktionswert herauskommen.

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Ja seit paar Tagen weiß ich dass die  ln funktion die Umkehrfunktion von e ist :)

Answer 2

So schreibt man das richtig auf:

$$\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ x } dx }$$$$=\lim _{ b->\infty  }{ \int _{ 1 }^{ b }{ \frac { 1 }{ x } dx }  }$$$$=\lim _{ b->\infty  }{ { \left[ ln(x) \right]  }_{ 1 }^{ b } }$$$$="\infty "-0$$$$="\infty "$$

Das Integral existiert also nicht.

Es ist allerdings ein Fehler zu glauben, das läge daran, dass sich der Graph von 1 / x an die x-Achse anschmiegt, diese aber niemals erreicht.

Das gilt nämlich auch für den Graphen von 1 / x ² - aber hier existiert das Integral:

$$\int _{ 1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } dx }$$$$=\lim _{ b->\infty  }{ \int _{ 1 }^{ b }{ \frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } dx }  }$$$$=\lim _{ b->\infty  }{ { \left[ -\frac { 1 }{ x }  \right]  }_{ 1 }^{ b } }$$$$=0-(-1)$$$$=1$$

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Hallo JotEs :)

Danke auch für deine Hilfe und alles:)

Ich möchte mal fragen, wieso du hier 0 rausbekommen hast? = 0-(-1)

naja die (-1) verstehe ich ja, aber die 0 nicht?

(vielleicht ist das jetzt eine blöde Frage, aber trotzdem)

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Lieber Emre. Nimm einen Euro und verteil diesen unter allen Menschen auf dieser Welt. Was bekommt dann jeder fast nichts oder?

Aber du teilst ihn nicht nur durch alle Menschen sondern eigentlich durch die Anzahl an Atomen aus denen jeder Mensch besteht und auch der Anzahl an Atomen aus denen das ganze Universum besteht und eigentlich durch noch eine viel viel größere Zahl. Ok da bleibt von dem einen Euro am Ende für jeden fast nix übrig. Und dieses fast nix geht eben gegen Null.

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Lieber Mathecoach:) Das war echt eine super Erklärung!! so verstehe ich das:)

Dankeschön!! So mit beispielen kann ich mir das besser vorstellen:)