Gesucht ist der Abstand zwischen den Exponentialfunktionen f(x)=0,25e^x+2 und g(x)=3-e^{-x}

Question

Ich brauch Hilfe bei folgender Aufgabe :

"Die Funktionen f mit f(x) = 0,25e^x + 2 und g mit g(x) = 3 – e^-x sowie die zugehörigen Schaubilder K von f und G von g seien gegeben.

Gegeben sei nun eine Gerade mit der Gleichung x = u. Diese Gerade schneidet K im Punkt P und
G im Punkt Q. Für welche Werte von u beträgt der Abstand zwischen P und Q 0,25 LE?"

Ich vermute, dass mit LE Längeneinheiten gemeint ist

Answer 1

d(x) = f(x) - g(x) = 0,25*e^x + 2 - (3 - e^-x) = 1/4 e^x + e^{-x} - 1

1/4 e^x + e^{-x} - 1 = + 0.25

 

e^x + 4 e^{-x} - 4 - 1 = 0

(e^x)^2 - 5e^x  + 4 = 0

 

e^x = 1

x = ln(1) = 0

e^x = 4
x = ln(4)

u muss also 0 oder ln(4) sein.

Answer 2

Es handelt sich um eine horizontale Gerade. Die Schnittpunkte sind also einfach:

(u, f(u)) und (u, g(u))

Ihr Abstand beträgt:

d(u) = |f(u)-g(u)|

d(u) = |0.25e^u+2-3+e^-u| = |0.25e^u+e^-u-1|

Um den Betrag zu umgehen, lassen wir die Betragsstriche weg und betrachten d*(u) = 0.25 und d*(u)=-0.25 einzeln:

 

I) 0.25 = 0.25e^u+e^-u-1 |-0.25

0 = 0.25e^u + e^-u - 1.25  |*4e^u

0 = (e^u)² + 4 -5e^u | z:=eu

0 = z² - 5z + 4

pq-Formel: z_1/2 = 5/2 ± √(25/4 - 16/4)

z₁ = 1  ⇒ u₁ = ln(z₁) = 0

z₂ = 4  ⇒ u₂ = ln(z₂) = ln(4) = 2ln(2)

 

II) -0.25 = 0.25e^u+e^-u-1

Führt völlig analog auf die Gleichung:

0 = z²-3z+4

pq-Formel: z_3/4 = 3/2 ± √(9/4 - 16/4) = 3/2 ± √(-7/4)

keine weiteren reellen Lösungen!

 

Die einzigen Lösungen sind also

u₁ =  0
u₂ = 2ln(2)