Question

Grenzwertbildung für drei Beispiele:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n-1} \)

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{2-n^{4}}{n+10 n^{2}} \)

\( \lim \limits_{x \rightarrow 2} \frac{-x^{2}-3 x+1}{2 x^{2}+x-10} \)

Nun ist mein Problem, dass ich erstens nicht weiß, wann ich die Regel von L’Hospital anwenden kann bzw. wann der Ausdruck unbestimmt ist und wie ich verfahren muss, wenn ich diesen nicht nutzen darf.

Answer 1

Hi,

Für das Verhalten im Unendlichen kannst Du einfach die größten Potenzen von Zähler und Nenner anschauen.

Vereinfacht haben wir also im ersten Fall

1/n. Für n gegen unendlich geht das dann gegen 0 (da der Nenner sehr groß wird).


Gleiches machst Du auch im zweite Fall. Das kann dann zu -n^4/10n^2 = -n^2/10 vereinfacht werden. Das geht offensichtlich gegen -∞


Der dritte Fall ist schon etwas schwieriger. Wenn man hier "rechnen" will, so sollte man sich mit der h-Methode befassen. Ansonsten kann man aber auch das abschätzen. Dafür faktorisiere den Nenner.

-> 2x^2+x-10 = (x-2)(2x+5)

Für x = 2 haben wir also eine einfache Nennernullstelle (es gibt keine entsprechende Zählernullstelle). Damit haben wir eine Polstelle. Eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Um zu checken, welches Vorzeichen wo vorliegt, nimm einfach eine Wert ein wenig über 2 und unterhalb von 2 (salopp gesagt). Du wirst feststellen, dass wir von links kommen gegen ∞ streben und damit von rechtskommend gegen -∞.


Grüße

Comments

Okay, vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Hat mir sehr weiter geholfen.


Wann darf ich den die regel von Regel von L’Hospital anwenden?

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l'Hospital darf, einfach gesagt, nur angewendet werden, wenn die Form "0/0" oder "∞/∞" vorliegt ;).

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Und wie finde ich heraus, ob diese Form vorliegt?

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Einfach die "Zahl" "einsetzen". Schauen wo je Zähler und Nenner hinwandern ;).