Koordinatenmatrix der linearen Abbildung f:ℝ3→ℝ4 bez. zweier Basen bestimmen

Question

Vielleicht kann mir da jemand einen Ansatz für die Aufgabe geben?

Gegeben habe ich die Matrix

$$ M _ { B } ^ { C } ( f ) = \left( \begin{array} { c c c } { 3 } & { - 1 } & { 2 } \\ { 4 } & { 4 } & { 0 } \\ { 3 } & { 7 } & { 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) \operatorname { ∈ m } ( 4,3 ; \mathbb { R } ) $$

der linearen Abbildung f:ℝ³→ℝ⁴ bezüglich der Basen B=( ^t(1,1,0),^t(0,1,1),^t(0,1,0)) von ℝ³ und der kanonischen Basis C von ℝ⁴.

Nun soll ich die Koordinatenmatrix

$$ M _ { D } ^ { E } ( f ) $$

bestimmen, bei der D die kanonische Basis von ℝ³ und E=(^t(1,1,2,0),^t(0,1,1,1),^t(0,3,2,0),^t(0,2,3,4)) von ℝ⁴ ist.

 In der Vorlesung hatten wir die Formel:

\(  M _ { D } ^ { E } ( f ) = S ^ { -1 } M _ { B } ^ { C } ( f ) T \) mit \( S ^ { - 1 } = M _ { C } ^ { E } \left( i d _ { V } \right) \) und \( T = M _ { B } ^ { D } \left( i d _ { W } \right) \)

Mit der komme ich aber nicht wirklich klar, wie genau sehen denn S^-1 und T aus?

Oder kann ich das auch ohne die Formel lösen?

Answer 1

Falls du die Abbildungsvorschrift gegeben hast, kannst du M_D,E(f) sofort bestimmen ohne die Formel,ansonsten musst du erstmal S^-1 und T bestimmen. Du berechnest die Matrix mit der Formel, indem du die Vektoren der ersten Basis (die bei dir unten steht) auf id_v für S^-1 bzw. id_w für T anwendest und das als Linearkombination der Vektoren aus der zweiten Basis (die bei dir oben steht) schreibst. Die Koeffizienten sind dann die Spalten der jeweiligen Matrix (Koeffizienten des ersten Vektors der ersten Basis ist die 1. Spalte, zweiter Vektor ist die zweite Spalte usw.). Dann multiplizierst du die Matrizen und erhältst die Matrix nach der Formel.