DGL - Trennung der Variablen? xy' = y, y(0) = 1.

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme mittels Trennung der Variablen.
(a) \( x y^{\prime}=y, \quad y(0)=1 \)

Ich komme hierbei nicht weiter... ich muss ja alle y auf eine Seite bringen und die x auf die andere. Wenn ich dann y' als dy/dx schreibe, dann komme ich auf ∫y dy = ∫x dx

Weiß nicht ob das richtig ist. Also allgemein bereit mir das y/y' Probleme. Also wie ich da korrekt substituieren soll.

Comments

Kann es sein, dass diese DGL nicht korrekt ist?
Komme am Ende auf y=x*e^{C} . Und wenn ich jetzt x=0 einsetze, dann wird die Gleichung niemals 1?

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Wenn man die DGL in eine Integralgleichung schreibt, dann kommt doch ∫(1/y) dy = ∫(1/x) dx

raus. Tippfehler?

Answer 1

Hi,

Deine Lösung ist korrekt. Man kommt auf y = x*e^C = x*d


Die Anfangsbedingung ist damit in der Tat nicht zu erfüllen?! Ändere diese mal zu y'(0) = 1 ab. Nur zu Übungszwecken. Was gilt dann? :)


Die Lösung der DGl selbst ist übrigens klar? Substit. brauchste da gar nichts. Und y' muss oben stehen -> Kehrbruch :).


Grüße

Comments

y'(0)=1
y' = dy/dx = x*e^{C} / dx = 1*e^{C}

Wie soll ich da jetzt 0 einsetzen?

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In dem Du Dir das x nimmst und 0 einsetzt. Sollte kein x da sein, kannst Du auch für x  nix einsetzen^^.

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Also ist C = 0 konstant, weil e^0 = 1.

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Genau so ist es ;).


Übrigens wird e^C meist zu d umgeformt. Dann wäre d = 1 ;).

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Hi,

an unserer FH wird einfach aus e^C = C gemacht, ändern tut das nichts.

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Das ist insofern problematisch, dass das C im Exponenten ein anderes C ist, als rechts steht. Besser wäre also mit Index zu arbeiten oder eben einen anderen Buchstaben zu wählen ;).