Finde alle Lösungen der DGL y''+2y'+y=0

Question

rechnen sie nach, dass 2,6xe^-x ,ebenso Be^-x und auch Axe^-x+Be^-x mit konstanten A und B

jeweils lösungen der DGL  y''+2y'+y=0 sind :)

Comments

Solche Differenzialgleichungen kann man sich recht einfach von Wolframalpha lösen lassen.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%2B2y%27%2By%3D0

Der listet auch eine Schritt für Schritt Lösung dafür.

Answer 1

rechnen sie nach, dass 2,6xe^-x ,ebenso Be^-x und auch Axe^-x+Be^-x mit konstanten A und B 

jeweils lösungen der DGL  y''+2y'+y=0 sind :)

 

Ich rechne das mal für die erste Lösung nach. Die andern kannst du bestimmt selbst nachrechnen.

 

y = 2.6x*e^{-x}

y' = 2.6 *e^{-x} + (2.6x)* e^{-x} * (-1) 

= (2.6 -2.6x)e^{-x}

 

y '' = -2.6 * e^{-x} + (2.6 - 2.6x)*e^{-x} * (-1)

 = (-2.6 - 2.6 + 2.6 x )*e^{-x}

 = (-5.2 + 2.6x)*e^{-x}

 

Einsetzen:

y '' + 2y' + y = (-5.2 + 2.6x)*e^{-x} + 2* (2.6 -2.6x)e^{-x} + 2.6x*e^{-x}

= (-5.2 + 2.6x + 5.2 - 5.2x + 2.6x)*e^{-x} = 0*e^{-x} = 0 qed.