Aufgabe:
Bei Experimenten stellt sich häufig die Frage, in welchem Bereich der wahre (nicht bekannte) Mittelwert \( \mu \) sich befindet. Um diese Frage zu beantworten, berechnet man ein Konfidenzintervall, in dem sich mit der Wahrscheinlichkeit \( 1-\alpha \) der wahre Wert befindet.
a) Bei einem Experiment, das 9 mal durchgeführt wurde, mit einem Messgerät, dessen Standardabweichung mit \( \sigma=1 \) bekannt ist, wurde als Mittelwert der Messgröße \( \bar{x}=3 \) ermittelt. Wie groß ist die Standardabweichung des Mittelwertes?
b) Wo liegt das \( 95 \% \) -Konfidenzintervall?
Dabei kann oft von einer Normalverteilung der Daten ausgegangen werden, weil kleine Messfehler wahrscheinlicher sind als große und positive wie negative Abweichungen auftreten.
Gegeben:
n=9
σ=1
1-a
x=3
a)
\( \sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)
\( \sigma_{\bar{x}}=\frac{1}{\sqrt{9}} · (1-3)^{2}=\frac{4}{3} \approx 1, \overline{33} \)
b)
\( P(\mu \in[a, b])=1-\alpha \)
\( \bar{X}=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^{n} X_{i} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right) \)
\( 1-\alpha=P\left(-z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma^{2} / n}} \leq+z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)}\right) \)
\( =P\left(\bar{X}-z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+z_{\left(1-\frac{\alpha}{2}\right)} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \)
