Gleichung für eine Gerade finden

Question

Ich soll die Gleichung der Gerade finden, die eine Steigung von -2/3 hat und durch den Punkt (3 | -1) geht!

Was soll ich machen?

Thema: Lineare Funktionen

Answer 1

Also, die erste Möglichkeit ist, dass über die Punkt-Steigungs-Form zu machen. Das ist eine Formel, die man auswendig lernen muss, mit der man aus einem Punkt und der Steigung einer Funktion die Funktionsgleichung bestimmen kann.

 

Sie lautet: y - y₀ = m*(x-x₀)

wobei m die Steigung und (x₀, y₀) der gegebene Punkt ist. Stellt man die Gleichung nach y um, so erhält man auf der rechten Seite den Funktionsterm:
f(x) = m*(x-x₀) + y₀

 

Setzt man deine gegebenen Werte ein, so erhält man:

f(x) = -2/3*(x-3) - 1

f(x) = -2/3 * x + 2 - 1

f(x) = -2/3*x + 1

 

Eine alternative Möglichkeit ist das sogenannte Rekonstruktionsverfahren der Funktion. Dafür sind allerdings etwas "schwierigere Rechnungen" nötig, die man etwa in der 10. bis 11. Klasse lernt, nämlich das ableiten. Ich schreibe "schwierig" in Anführungszeichen, weil sie wirklich nicht mehr schwer sind, sobald man sie einmal gelernt hat. Für lineare Funktionen unterscheiden sich die Rechnungen eigentlich nicht von der Punkt-Steigungs-Form, allerdings versteht man dann, warum man diese Formel benutzen darf.

Answer 2

Zur Lösung der Aufgabe solltest du die Normalform der linearen Funktion kennen und wissen, was das bedeutet (siehe Video unten): f(x) = m*x + n

Die Steigung m hast du bereist mit: m = -2/3

Nun fehlt dir noch n (n zeigt dir den Schnittpunkt mit der y-Achse, also den y-Wert dieses Punktes).

Zur Berechnung einfach den gegebenen Punkt (3|-1) nehmen und in die Funktionsgleichung (Normalform) zusammen mit der bekannten Steigung einsetzen:

f(x) = m*x + n     | m=-2/3

f(x) = -2/3*x + n    | P(x | y) → P(x=3 | y=-1)

f(x) = -2/3*x + n = y

f(3) = -2/3*3 + n = -1

Den hinteren Teil der Gleichung nutzen, um n zu berechnen:

-2/3*3 + n = -1

-2 + n = -1   |+2

n = -1 +2

n = 1

 

Abschließend die fertige Funktionsgleichung zusammenstellen:

f(x) = m*x + n

m = -2/3 und n = 1

f(x) = -2/3*x + 1

 

Siehe auch  Einführung: Lineare Funktionen in Normalform: