Logikrätsel: 100 einsame Mathematiker die lügen oder die wahrheit sagen.

Question

Von Brucybabe auf die Idee gebracht möchte ich euch auch ein Logik-Rätsel stellen, was ich mal irgendwo aufgeschnappt hatte:

 

Es war einmal ein kleines Dorf, in dem 100 einsame Mathematiker lebten. Diese Mathematiker machen sich einen Spaß daraus auf Fragen von Besuchern immer mit Aussagen zu antworten. Dabei gibt es aber Mathematiker die stets die Wahrheit sagen und Mathematiker die stets lügen.

Ein Forscher der von diesem Dorf gehört hat besucht es und möchte herausfinden, wie wie viele Mathematiker denn nun lügen und wie viele die Wahrheit sagen.

Also fragt er alle Einwohner der reihe nach: "Wie viel Lügner gibt es auf der Insel?"

Der erste antwortet: "Hier im Dorf lebt mindestens ein Lügner."
Der zweite antwortet: "Hier im Dorf leben mindestens zwei Lügner."
Der dritte antwortet: "Hier im Dorf leben mindestens drei Lügner."
...
Der hundertste antwortet: "Hier im Dorf leben mindestens hundert Lügner."

Wie viele Lügner gibt es nun auf der Insel?

Answer 1

Wenn man davon ausgeht, dass jeder bis auf den 100sten weiter nach dem Schema der xte sagt es leben x Lügner auf der Insel. Dann müsste doch die Hälfte lügen. Also gibt es 50 Lügner und 50, welche die Wahrheit sagen.

Comments

Völlig richtig auch wenn die mathematische Herleitung hier nicht so schön war.

Answer 2

Da es hier noch immer keinen Beweis gibt, sondern nur einen mit "Handwaving Arguments" hier nochal richtig.

Sei für die Aussage \(A(k)\) definiert als "Es gibt mindestens \(k\) Lügner auf der Insel." für \(k\in\{1,...,100\} \).
$$$$
Jetzt trifft die \(k.\) Person auf der Insel die Aussage \(A(k)\).
Offenbar impliziert die Gültigkeit von \(A(k)\) jene von \(A(n)\) für \(n\in\{1,...,k\}.\)

Die Aussage \(A(k)\) implziert also gleichzeitig, dass mindestens \(k\) Menschen die Wahrheit sagen. Dies ist für \(k > 50\) offenbar ein Widerspruch, weswegen die letzten \(50\) Mathematiker sicher lügen. Damit sagen dann aber gleichzeitig die ersten \(50\) die Wahrheit.