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Uneigentliches Integral berechnen:

\( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{a+x^{2}} d x \) mit \( a>0 \)

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Ersetze die obere Grenze durch b und bilde zunächst die Stammfunktion und dann die Differenz der Stammfunktionswerte und schließlich deren Grenzwert für b gegen Unendlich.

3 Antworten

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Hi,
eigentlich ist das ein Term, der an den Arcustangens erinnern sollte.
Übliches Vorgehen wohl hier:

$$\int \frac{1}{a+x^2} \;dx = \frac1a\int \frac{1}{1+\frac{x^2}{a}} \;dx $$

nachdem nun a im Nenner ausgeklammert wurde ist die Subst. \(u = \frac{x}{\sqrt a}\) zu wählen. Und damit \(du = \frac{1}{\sqrt a} dx\)

Das führt auf:
$$\frac{1}{\sqrt a}\int \frac{1}{1+u^2} du = \frac{1}{\sqrt a} \arctan(u) + c = \frac{\arctan\left(\frac{x}{\sqrt a}\right)}{\sqrt a} + c$$

Grüße
Avatar von 140 k 🚀
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Avatar von 162 k 🚀

Danke, aber verstehe leider nicht, wie ich hier mit der Substitution vorgehen soll

0 Daumen

Sustitution ---> (a+x² ) =u

∫ 1/u du = ln I u I  , Rücksub.: ln I  ( a+x²) I

Avatar von 2,3 k

Meiner Meinung nach ist dx=du/2x , oder nicht? Dann kann das doch nicht klappen

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