Ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks für 0 ≤ r ≤ 3

Question

Der Punkt \( C(r \mid s) \) mit \( 0 \leq r \leq 3 \) liegt auf dem Graphen einer Funktion \( f \). der Punkt \( N(3 \mid 0) \) ist fest gewählt. \( C \) und \( N \) sind Eckpunkte eines Rechtecks.

a) Die Funktion \( f \) ist gegeben durch \( f(x)=1+\frac{1}{5} x^{3} \) (s. Bild 17/4). Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks gilt:

\( A(r)=-\frac{1}{5} r^{4}+\frac{3}{5} r^{3}-r+3 \)

Ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt des Rechtecks für \( 0 \leq r \leq 3 \)

b) Bearbeiten Sie diese Aufgabe, wenn \( f \) durch die Funktionsgleichung \( f(x)=1+\frac{1}{3} x^{3} \) bzw. \( f(x)=1+\frac{1}{9} x^{3} \) gegeben ist.

Answer 1

f(x) = 1 + 0.2x^3

A = (3 - r) * f(r) = (3 - r) * (1 + 0.2r^3) = - 0.2·r^4 + 0.6·r^3 - r + 3

Wandle in die Dezimalzahlen in Brüche und das ist die Funktion.

A' = - 0.8·r^3 + 1.8·r^2 - 1 = 0

r = -0.6558688457 ∨ r = 1.905868845 ∨ r = 1

Maximum bei r = 1.905868845

A = - 0.2·(1.906)^4 + 0.6·(1.906)^3 - (1.906) + 3 = 2.609011769

Die Alternativaufgaben bei b) solltest du jetzt ähnlichhinbekommen.