Stochastik - Wahrscheinlichkeit bei einer Lottoziehung 6 aus 49 (Vier Richtige, zwei Richtige etc.)

Question

ich habe eine Frage zu den Matheaufgaben, welche ich unten gepostet habe.

Also Aufgabe 1 und 2 habe ich bei 3. wollte ich nun so verfahren, dass ich für jede einzelne Kombination die Wahrscheinlichkeit ausrechne und das dann addiere(also 15 Rechnungen) (ist es auch möglich eine Wahrescheinlichkeit mit 4 Richtigen auszurechnen und dann mal 15 zu rechnen?)

Bei Aufgabe 4 und 5 stehe ich leider total auf dem Schlauch wäre nett, wenn Ihr mir dabei unter die Arme greift.

Vielen Dank schonmal im voraus.

Ich hoffe, dass man alles erkennen kann. MfG

Um die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beim Lotto 6 aus 49 zu bestimmen, kann man während der Ziehung r für eine richtig getippte und f für eine falsch getippte Zahl notieren.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Ziehung, bei der man rrrrff notiert.

b) Schreiben Sie alle Möglichkeit mit vier Richtigen auf, also rrrrff, rrrfrf, rrfrrf usw. Begründen Sie, dass es \( \begin{pmatrix}  6 \\ 4 \end{pmatrix} \) =15 Kombinationen gibt.

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jede der Kombinationen aus Teilaufgabe b)? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige?

d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für zwei Richtige beim Lotto.

e) Beim Lotto erzielt man bei einem Spieltipp einen Gewinn, wenn man mindestens drei Richtige hat. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn pro Spiel nur etwa 1,86 % beträgt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 50 (100, 1000) Spielen dafür, dass man mindestens einen Gewinn erzielt?

 

Answer 1

Um die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige beim Lotto 6 aus 49 zu bestimmen, kann man während der Ziehung r für eine richtig getippte und f für eine falsch getippte Zahl notieren.

a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für eine Ziehung, bei der man rrrrff notiert.

6/49 · 5/48 · 4/47 · 3/46 · 43/45 · 42/44 = 43/665896

b) Schreiben Sie alle Möglichkeiten mit vier Richtigen auf, also rrrrff, rrrfrf, rrfrrf usw. Begründen Sie, dass es (6 über 4) = 15 Kombinationen gibt.

rrrrff, rrrfrf, rrrffr, rrfrrf, rrfrfr, rrffrr, rfrrrf, rfrrfr, rfrfrr, rffrrr, frrrrf, frrrfr, frrfrr, frfrrr, ffrrrr

Es gibt 6! Permutationen bei 6 Zeichen. Da wir allerdings die 4 r's und die 2 f's nicht unterscheiden können müssen wir noch durch 4! und 2! teilen und erhalten:

6!/(4!·2!) = 15

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für jede der Kombinationen in Teilaufgabe b)? Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit für 4 Richtige?

15 · 43/665896 = 645/665896

COMB(6, 4)·COMB(43, 2)/COMB(49, 6) = 645/665896

d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für 2 Richtige beim Lotto.

COMB(6, 2)·COMB(43, 4)/COMB(49, 6) = 44075/332948

e) Beim Lotto erzielt man bei einem Spieltipp einen Gewinn, wenn man mindestens drei Richtige hat. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn pro Spiel nur etwa 1.86% beträgt.

∑(COMB(6, x)·COMB(43, 6 - x)/COMB(49, 6), x, 3, 6) = 4654/249711 = 1.86%

f) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei 50 (100, 200) Spielen dafür, dass man mindestens einen Gewinn erzielt?

1 - (1 - 4654/249711)^50 = 60.96%

1 - (1 - 4654/249711)^100 = 84.76%

1 - (1 - 4654/249711)^200 = 97.68%

Comments

schonmal ein RIESEN Dankeschön für deine großen Mühen!

Jetzt aber ein paar Fragen:

Was meinst du mit

COMB(6, 4)·COMB(43, 2)/COMB(49, 6) = 645/665896

COMB leider weiß ich nicht so recht, was das heißt.

auch bei d) hattest du dieses Element verwendet

bei e) weiß ich auch nicht ganz bescheid:

∑(COMB(6, x)·COMB(43, 6 - x)/COMB(49, 6), x, 3, 6) = 4654/249711 = 1.86%

-> Hierbei verstehe ich, aber auch leider die ganzen Schritte nicht so recht

Ich kann das nicht so recht nachvollziehen

und bei f)

bist du von 1 als Gesamtanzahl der Personen ausgegangen und hast dann 1- 4654/249711 gerechnet.

Wie kommst du auf 4654/249711? Die Hochzahlen stehen für die jeweilige Zahl der Teilnehmer oder?

Wäre echt sehr nett, wenn du mir nocheinmal helfen könntest, da ich es nicht einfach abschreiben, sondern verstehen will.

Einfach nur nochmal für dumme wie mich erklären, dass wäre sehr cool von dir!

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COMB(n, k) ist der Binomialkoeffizient (n über k)

e)

Um beim Lotto die Wahrscheinlichkeit für x richtige zu berechnen rechnet man nach der hypergeometrischen Verteilung:

(COMB(6, x)·COMB(43, 6 - x)/COMB(49, 6)

Für die Wahrscheinlichkeit 3, 4, 5 oder 6 Richtige zu haben müssen wir das ganze nun für 3, 4, 5 und 6 ausrechnen und alles zusammen addieren. Zum Glück hat der Mathematiker dafür das Summenzeichen erfunden.

∑ (x = 3 bis 6) (COMB(6, x)·COMB(43, 6 - x)/COMB(49, 6))

Oben ist das in der Form wie es mein PC besser versteht.

f) bei f habe ich das Ergebnis von e) weiterverwendet.