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Ungleichung mit Bruch und Betrag lösen:

a) \( \frac{|x-2|}{x+2} \leq 4, x \neq-2 \)

b) \( \frac{x}{x+3}<\frac{1}{x-1} \)

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Multiplikation mit den Nennern hilft oft.

Cave: negatve Faktoren ändern die Relation

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Ungleichungen / Gleichungen mit Betragsstrichen
bedeuten meist einen großen Aufwand und
stiften Verwirrungen.

Das Ergebnis stimmt. Geprüft.

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mfg Georg

Avatar von 122 k 🚀

Das ist wirklich verwirrend ...warum hast du so viele Fallunterscheidung ich habe doch nur 1fall =x<2 und 2fall =x>2 oder nicht ?

Meiner unmaßgeblichen Meinung nach hast du 4 Fälle.
Der Nenner positiv oder negativ sein
Mein Fall
1.) x + 2 > 0  => x > -2
2.) x + 2 < 0  => x < -2

Und dann hast du im Zähler auch noch jeweils
2 Fälle zu unterscheiden.
a.) x - 2 > 0
b.) x - 2 < 0

ergibt 4 Fälle

1.) x + 2 > 0  => x > -2
1a.) ( x + 2 > 0 ) und ( x - 2 > 0)
1b.) ( x + 2 > 0 ) und ( x - 2 < 0 )

2.) x + 2 < 0  => x < -2
2a.) ( x + 2 < 0 ) und ( x - 2 > 0 )
2b.) ( x + 2 < 0 ) und ( x - 2 < 0 )

Auf der Seite 1 habe ich unten einen Fehler.
Für den Fall 1 gilt
x > 2 ( steht bei mir zunächst auch so da )
x > -1.2
Also x ≥ -1.2

Insgesamt ergilt
x ≥ -1.2 und
x < -2

Hier noch der Graph als umgestellte Funktion
| x - 2 |/( x +  2) <= 4
f := abs ( x - 2 ) / ( x + 2 ) - 4
Die Lösungsmenge ist alles unterhalb der x-Achse

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dazu:

| x - 2 |/( x +  2) <= 4

die richtige Lösungsmenge:

alle x mit x< -2 ... denn da ist die linke Seite negativ, also kleiner als 4

ODER

alle  x  mit x> -6/5 also x>-1,2

...... und damit selbstverständlich auch für ALLE positiven x

Avatar von

wie kommst du so schnell auf x > -1.2 ?

Ein anderes Problem?

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