ich vereinfache zunächst mal die Reihe in der Aufgabenstellung zu
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n \). (1)
Wähle
\( a_n = 2 \frac{1}{\frac{n}{2}} \) für n gerade und
\( a_n = \frac{1}{\frac{n+1}{2}} \) für n ungerade.
Dann ist
\( \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n = \sum_{n \text{ gerade}} a_n - \sum_{n \text{ ungerade}} a_n \)
\( = 2 \sum_{n \text{ gerade}} \frac{1}{\frac{n}{2}} - \sum_{n \text{ ungerade}} \frac{1}{\frac{n+1}{2}} \)
\( = 2 \sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \)
\( = \sum_{n =1}^{\infty} \frac{1}{n} = \infty \).
Damit ist eine Nullfolge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) gefunden mit \( a_n > 0 \) für alle \( n \), sodass die Reihe (1) nicht konvergiert.
Mister
