Ist meine Lösung richtig? Klippenspringen Höhe(Zeit): h(t) = 28 – 5 * t²

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Klippenspringen ist Turmspringen ohne Turm; die Klippen bilden die Absprungstelle ins Wasser. Diese Art des Wasserspringens wird auch in Wettkämpfen ausgeübt. In Acapulco ist das Klippenspringen eine berühmte Touristenattraktion. Die Springer stehen in einer Höhe von bis zu 28 Metern auf Felsen oder Klippen und erreichen beim Sprung eine Geschwindigkeit von bis zu 90 km/h, bevor sie ins Wasser eintauchen.

Der fallende Springer kann im Modell wie ein Stein im freien Fall angesehen werden. Die Höhe (in m) in Abhängigkeit von der Zeit (in s) kann dann durch die Funktion h(t) = 28 – 5 * t²  modelliert werden. Überprüfe damit die obige Geschwindigkeitsangabe von 90 km/h.

Lösungsansatz:

90(km/h) : 3,6 = 25 (m/s)

25 = 28 / t

t=1,12

h(1,12) = 28- 5 * 1,12

h(1,12) = 21,728
Gefragt 2 Sep 2012 von Gast ia1366

2 Antworten

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Beste Antwort
Nein, das ist nicht richtig!
(Sogar zweifach, aber das kläre ich gleich.)

Was du gegeben hast, ist ja die Wegfunktion, du suchst aber nach Geschwindigkeiten!

 

Als erstes musst du den Zeitpunkt herausfinden, bei dem der Springer ins Wasser eintritt, das ist dann der Fall, wenn h=0 ist, also die Höhe überm Wasser 0 Metern entspricht.

28 - 5t² = 0

5t² = 28

t² = 5,6

t ≈ 2,366

 

Nach etwa 2,366 Sekunden taucht der Springer ein.

 

Die Geschwindigkeit ist nun die Änderrungsrate der Höhe, also ihre Ableitung!

Die Ableitung von h(t) = 28-5t² ist:

v(t) = h'(t) = -10t

Setzt man die Zeit 2,366 Sekunden ein, so erhält man eine Geschwindigkeit von:

v(2,366) = -23,66 m/s = 85,2 km/h

 

Die Frage ist jetzt, was man damit anfängt: ich würde sagen, die Behauptung ist richtig, denn man erreicht ja tatsächlich fast 90km/h.
Beantwortet 2 Sep 2012 von Julian Mi Experte X

Hmm, ich war einfach davon ausgegangen, dass du schon weißt, was eine Ableitung ist, ansonsten ist es nämlich ziemlich schwer, die Funktion zu lösen - die Ableitung einer Funktion gibt ihre Steigung an einer bestimmten Stelle an.

 

Der Begriff der Steigung tritt z.B. bei linearen Funktionen (z.B. f(x) = 2x+1) auf. Hier ist die Steigung überall die gleiche und beträgt im Beispiel 2.

Bei komplizierteren Funktionen (in deiner Aufgabe kommt eine Parabel vor) ist die Steigung nicht überall die gleiche! Das siehst du direkt, wenn du die Funktion mal zeichnest.

 

Wie du siehst, wird die Funktion immer steiler. Um die Steigung an einer Stelle herauszufinden, musst du die sogenannte momentane Änderungsrate oder auch Ableitung bestimmen.

 

Jetzt ist wieder die Frage, in welcher Klasse du bist und wie weit du schon im Stoff drin bist: um die Ableitung zu berechnen, muss man für gewöhnlich den sogenannten Grenzwert des Differenzenkoeffizienten berechnen.

Das heißt, du zeichnest quasi ein Steigungsdreieck in die Funktion ein (an der Stelle, die du untersuchst) und schiebst die beiden Punkte dann immer näher aneinander, so dass sich die Steigung des Dreiecks immer mehr der Steigung der Funktion annähert.

Man führt dabei einen sogenannten Grenzwert des Punktabstands gegen 0 durch. Man notiert das so:

Das ist die Formel der Steigung des Steigunsdreieck, dass sich vom Punkt (x, f(x)) aus zum Punkt (x+h, f(x+h)) aus erstreckt.

Das lim bedeutet Limes und steht für die Grenzwertdurchführung (also dass man h immer näher gegen 0 schiebt. Setzt man nun die ermittelte Nullstelle im Beispiel und die Funktion aus dem Beispiel ein, so erhält man:

Wenn man jetzt h immer kleiner macht (also den Grenzwert ausführt) dann ändert sich an der 23,66 nichts, nur das -5h verschwindet irgendwann. Das Ergebnis ist also 23,66.
Den zweiten Schritt habe ich relativ stark verkürzt, komplett ausgerechnet sieht der Zähler so aus:

28-5*(2,366+h)²-(28-5*2,366²) = 28-28 -5*(2,366²+2*2,366*h+h²) +5*2,366²

= -5*2,366²+5*2,366² +5*2*2,366*h + 5h² = 10*2,366*h+5h²

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Sieht wie eine Ableitungsaufgabe aus, aber du kannst also nicht ableiten?

Was weisst du denn aus der Physik vom 'freien Fall'?

Steine, die (im Vakuum) fallen, werden während der ganzen Flugphase mit der sog. Erdbeschleunigung g ≈ 9,81 m/s2 oder g ≈10 m/s2 beschleunigt.

Dadurch wird die Geschwindigkeit gleichmässig grösser. Der Stein startet die Bewegung im Stillstand und ist beim Eintauchen am schnellsten. In Abhängikeit von der Zeit gilt zu jedem Zeitpunkt  v(t) = g t 

Aus der Physik (oder in der Mathematik via Integration) kommt man auf die Formel für den beim freien Fall zurückgelegten Weg s(t) = 1/2 * g * t ≈ 5 * t2

In eurer gegebenen Höhenformel nehmt ihr an, dass das Wasser auf der Höhe 0m liegt und der Startpunkt bei 28 m. Dann muss der zurückgelegte Weg in Wasserrichtung (also nach unten) abgetragen werden, deshalb das –

h(t) = 28 – 5 * t²

Jetzt kann man die Zeit tdes Eintauchens berechnen, indem man h(t)= 0 setzt.

h(te) = 28 – 5 * te² = 0

28 = 5 * te² 

28/5 =  te²

 te= √(28/5) ≈ 2,366 s

Einsetzen in: v(t) = g t ≈ 10 te = 23,66 m/s = 85,19 km/h

Beantwortet 2 Sep 2012 von Lu Experte XCVII

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